Атлас (топологія)
Цей термін має також інші значення див. атлас .
Атлас - поняття диференціальної геометрії , Що дозволяють вводити на різноманітті додаткові структури; наприклад гладку структуру або комплексну структуру.
Атлас складається з окремих карт, які описують окремі області різноманіття. Якщо під різноманіттям розуміти поверхню Землі, то слова карта і атлас набувають свої звичайні значення.
Нехай K {\ displaystyle K} 
- числове поле (Наприклад R {\ displaystyle \ mathbb {R}} 
або C {\ displaystyle \ mathbb {C}} 
), X {\ displaystyle X} 
- топологічний простір .
- Карта - це пара (U, f) {\ displaystyle (U, f)}
, де
U {\ displaystyle U} 
- відкрите безліч в X {\ displaystyle X} f {\ displaystyle f} 
- гомеоморфизм з U {\ displaystyle U} в відкрите безліч в K n {\ displaystyle K ^ {n}} 
- Локальна карта вводить в U {\ displaystyle U} криволінійні координати, зіставляючи точці x = f - 1 (t) {\ displaystyle x = f ^ {- 1} (t)}
набір чисел t = (t 1,..., t n) {\ displaystyle t = (t ^ {1}, ..., t ^ {n})} 
- Якщо області визначення двох карт (U 1, f 1) {\ displaystyle (U_ {1}, f_ {1})}
і (U 2, f 2) {\ displaystyle (U_ {2}, f_ {2})} 
перетинаються (U 1 ∩ U 2 ≠ ∅ {\ displaystyle U_ {1} \ cap U_ {2} \ neq \ emptyset} 
), То між множинами f 1 (U 2) {\ displaystyle f_ {1} (U_ {2})} 
і f 2 (U 1) {\ displaystyle f_ {2} (U_ {1})} 
є взаємно зворотні відображення (гомеоморфізм), звані функціями звірення або відображенням склейки: f 12 = f 1 ∘ f 2 - 1 | f 2 (U 1 ∩ U 2): f 2 (U 1 ∩ U 2) → f 1 (U 1 ∩ U 2) f 21 = f 2 ∘ f 1 - 1 | f 1 (U 1 ∩ U 2): f 1 (U 1 ∩ U 2) → f 2 (U 1 ∩ U 2) {\ displaystyle {\ begin {matrix} f_ {12} = f_ {1} \ circ f_ {2} ^ {- 1} | _ {f_ {2} (U_ {1} \ cap U_ {2})} &: \ f_ {2} (U_ {1} \ cap U_ {2}) \ to f_ {1} (U_ {1} \ cap U_ {2}) \\ f_ {21} = f_ {2} \ circ f_ {1} ^ {- 1} | _ {f_ {1} (U_ {1} \ cap U_ {2})} &: \ f_ {1} (U_ {1} \ cap U_ {2}) \ to f_ {2} (U_ {1} \ cap U_ {2}) \ end {matrix}} } 
- Атлас - це безліч узгоджених карт {(U α, f α)} {\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}) \}}
, Α ∈ A {\ displaystyle \ alpha \ in {\ mathcal {A}}} 
, Таке, що {U α} {\ displaystyle \ {U _ {\ alpha} \}} 
утворює покриття простору X {\ displaystyle X} . Тут A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}} 
- деякий безліч індексів. При цьому атлас називається гладким (класу C k {\ displaystyle C ^ {k}} 
) Або аналітичним, якщо функції заміни координат f α 1 α 2 {\ displaystyle f _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2}}} 
для всіх карт гладкі (класу C k {\ displaystyle C ^ {k}} ) Або аналітичні.
- Два гладких (аналітичних) атласу називаються узгодженими, якщо їх об'єднання також є гладким (аналітичним) атласом.
