Математичне планування експериментів

При проведенні наукових експериментів і технологічних розрахунків поряд з Субстанційної (виготовлення фізичного зразка матеріалу) і структурно-імітаційним (імітація взаємодії структурних елементів системи) моделюванням широко застосовується функціональне моделювання, результатом якого є отримання якоїсь математичної функції, яка описує поведінку об'єкта дослідження, абстрагуючись від внутрішньої структури речового субстрату. Функціональна модель працює за принципом «чорного ящика», при цьому відомі параметри «входу» - змінні або постійні фактори, а також, параметри «виходу» - критерій ефективності, відгук і т.д. [1, 2, 3]. Наприклад, побудова функціональних моделей експериментальних-тальних залежностей властивостей бетону від його складу включає в себе наступні етапи:

• уточнення в залежності від конкретного завдання оптимізуються параметрів (міцності бетону, легкоукладальності бетонної суміші та ін.);
• вибір факторів, що визначають мінливість оптимізуються параметрів; - визначення основного вихідного складу бетонної суміші; - вибір інтервалів варіювання факторів;
• вибір плану та умов проведення експерименту;
• обробка результатів експерименту з побудовою математичних моделей залежностей властивостей бетонної суміші та бетону від обраних факторів.

Планування експерименту - це процедура вибору числа і умов проведення дослідів, необхідних і достатніх для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю.

Розглянемо процес математичного планування і обробки даних факторного експерименту із застосуванням програмно-алгоритмічних засобів на прикладі комп'ютерної програми «PlanExp B-D13» , Розробленої в середовищі програмування Microsoft Visual Basic 6.0. Розроблений програмний продукт дозволяє виробляти моментальний розрахунок плану експерименту по заданих змінних факторів, розраховувати коефіцієнти рівняння математичної моделі, проводити статистичну оцінку адекватності математичної моделі, будувати діаграми ліній рівного рівня з можливістю виявлення точки екстремуму, а також, автоматично формувати звіт за підсумками експерименту. Програма орієнтована на роботу з трехфакторной планом експерименту B-D13, який дозволяє отримувати нелінійні квадратичні моделі, і має гарні статистичними характеристиками.

Алгоритм програми включає основні процедури - процедуру розрахунку коефіцієнтів функції відгуку, процедуру статистичної обробки та процедуру візуалізації математичної моделі. Всі основні обчислення проводяться циклічно, що дозволяє моментально перебудовувати математичну модель, змінюючи вхідні дані. Крім того, алгоритм включає допоміжну процедуру, що забезпечує перевірку синтаксичної правильності даних, що вводяться. При допущенні помилок введення даних програма коригує дії користувача за допомогою текстового оповіщення.

Інтерфейс програмного продукту реалізований у вигляді логічних блоків, що дозволяють вводити вихідні дані і змінювати параметри виведення математичної моделі в інтерактивному режимі (рисунок 1).

Малюнок 1 - Інтерфейс програми обробки даних трехфакторной планованих експериментів

Наведемо порядок роботи з програмою на прикладі планованого експерименту по дослідженню залежності міцності бетону від рецептурних факторів.

У першому логічному блоці встановлюються вхідні фактори експерименту. В експерименті варіюються: кількість в'язкої частини бетону; вміст наповнювача і кількість добавки - гіперпластифікатор. Значення факторів задаються в натуральному вигляді (грами, відсотки і т.д.). Користувач заповнює текстові поля - основний рівень факторів, інтервал варіювання і найменування фактора (малюнок 2).

Малюнок 2 - Блок введення значень вхідних факторів

У розрахунку факторного плану значення рівнів вхідних факторів приймаються в кодованому вигляді, при цьому, основний рівень (центр плану) кожного фактора позначається як «0», а нижній і верхній рівні: «-1» і «+1» відповідно. Перерахунок заданих користувачем натуральних значень факторів проводиться шляхом лінійної інтерполяції значень:

де x i - значення i-го фактора в кодованому вигляді, X i - значення i-го фактора в натуральному вигляді, Δ X i - інтервал варіювання i-го фактора.

У поточному прикладі в експерименті контролюється величина межі міцності бетону на стиск (R сж, МПа). Для визначення відтворюваності вимірювань вихідного параметра необхідно проводити паралельні вимірювання. У програмі допускається введення вихідних значень до трьох паралельних вимірів. Згідно з планом експерименту розраховується 10 дослідів по 3 паралельних випробування в кожному. Вихідні параметри, найменування вихідного параметра і кількість паралельних вимірів встановлюються користувачем у другому блоці (рисунок 3).

Малюнок 3 - Блок розрахунку плану експерименту і введення значень вихідних параметрів

Після автоматичної перевірки введених даних програма розраховує коефіцієнти математичної моделі і виводить функцію відгуку в третьому логічному блоці (рисунок 4).

Малюнок 4 - Блок виведення математичної моделі

Після отримання математичної моделі проводиться перевірка значущості (відмінності від нуля) коефіцієнтів моделі і її адекватність.

Адекватність (від лат. Adaequatus - прирівняний, рівний) - відповідність, вірність, точність. Точність вимірювання - характеристика виміру, яка відображає ступінь близькості його результатів до істинного значення вимірюваної величини [4].

Перевірка коефіцієнтів на значимість проводиться за допомогою критерію Стьюдента (t-критерію), який розраховується за формулою:

де b i - i -й коефіцієнт математичної моделі, S {b i} - середньоквадратичне відхилення у визначенні коефіцієнтів.

Середньоквадратичне відхилення у визначенні коефіцієнтів функції відгуку розраховується за формулою:

де C i - величини, наведені для плану B-D13 в таблиці 1, S в ² - дисперсія відтворюваності в паралельних дослідах.

Таблиця 1 - Величини C i для плану B-D13

Дисперсія відтворюваності в паралельних дослідах розраховується за

формулою:

де N - кількість дослідів в плані, m - кількість паралельних вимірювань в кожному досвіді, y uj - значення вихідного параметра в u-му досвіді, j -му паралельному вимірі, y u - середнє значення вихідного параметра в u-му досвіді.

Розрахункове значення t-критерію порівнюється з табличним t табл для обраного рівня значущості (як правило, 5%) і даного числа ступенів свободи N (m -1). При табл t i <t табл коефіцієнт b i вважається незначним.

Перевірка адекватності математичної моделі проводиться за критерієм Фішера (F-критерій). Для цього обчислюється дисперсія адекватності за формулою:

де n з - кількість значущих коефіцієнтів, y u - значення відгуку, передбачене за рівнянням математичної моделі.

У свою чергу критерій Фішера розраховується як відношення:

Розрахункове значення F-критерію порівнюється з табличним F табл для обраного рівня значущості (як правило, 5%) і чисел ступенів свободи N (m -1) і (N - n з). При F <F табл рівняння математичної моделі вважається адекватним. Результати статистичної обробки моделі відображаються в четвертому логічному блоці (малюнок 5).

Малюнок 5 - Блок статистичної обробки математичної моделі

В даному прикладі математична модель міцності бетону визнана адекватною за критерієм Фішера (F = 3,07 <F табл = 3,1) і може бути застосована для вирішення рецептурно-технологічних задач. Рівняння математичної моделі являє собою квадратичну функцію трьох змінних:

Оскільки для графічної інтерпретації функції трьох змінних потрібно чотиривимірний простір, з метою візуального спрощення і зручності роботи з математичною моделлю функцію трьох змінних необхідно перетворити в функцію двох змінних, по черзі беручи константою один з чинників. У п'ятому логічному блоці програми представлені засоби для перетворення рівняння регресії в функцію двох змінних. Користувач може встановити постійний фактор і задати його значення (в межах інтервалу варіювання) в кодованому і натуральному вигляді (рисунок 6).

Малюнок 6 - Блок перетворення математичної моделі

В результаті перетворення виходять три варіанти математичної моделі: y = f (x 2, x 3) при x 1 = const, y = f (x 1, x 3) при x 2 = const і y = f (x 1, x 2 ) при x 3 = const. Для візуалізації кожного з трьох видів рівнянь будується діаграма ліній рівного рівня (ізоліній), що представляє собою проекції тривимірних поверхонь на площині (x 2; x 3), (x 1; x 3) і (x 1; x 2). Таким чином, крива кожної ізолінії будується в координатах (x 2, x 3), (x 1, x 3) і (x 1, x 2), а її побудова проводиться по квадратичним функцій x 2 = f (x 3), x 1 = f (x 3) і x 1 = f (x 2) відповідно (малюнок 7).

У шостому логічному блоці програми представлена ​​інтерактивна діаграма изолиний, що дозволяє користувачеві знімати координати факторного поля і значення вихідного параметра в режимі реального часу.

Малюнок 7 - Діаграма изолиний математичної моделі міцності бетону: x 1 = const (а), x 2 = const (б), x 3 = const (в)

Обробка даних планованого експерименту завершується процедурою виявлення екстремуму функції відгуку. Для визначення координат точки екстремуму проводиться автоматичне обчислення першої похідної для кожного значення факторів. Коріння отриманої системи рівнянь є координати точки екстремуму досліджуваного рівняння регресії:

Програма оснащена додатковими функціями завантаження / збереження даних, а також функцією експорту результатів розрахунків в Microsoft Word. Використовуючи отримане рівняння функції відгуку, користувач може зробити додаткові побудови в програмі Microsoft Excel, наприклад, побудувати поверхню відгуку в тривимірній системі координат (рисунок 8.а), а також, побудувати перетину поверхні відгуку, що дозволяють проаналізувати зміну вихідного параметра в залежності від одного змінного фактора (рисунок 8.б).

Малюнок 8 - Поверхня відгуку (а) при x 1 = const і її перетин (б)

при x 1 = const і x 2 = const

Розроблене програмне засіб може застосовуватися в будь-яких науково-прикладних задачах з оптимізації властивостей об'єкта дослідження, підбору рецептури і технологічних параметрів, де використовується математичне моделювання методом ортогонального планування експериментів.

Бібліографічні посилання:

[1] - Баженов, Ю.М. Модифіковані високоякісні бетони / Ю.М. Баженов, В.С. Дем'янова, В.І. Калашников // наукове видання. - М .: Видавництво Асоціації будівельних вузів. 2006. 368 с.

[2] - Григор'єв, Ю.Д. Плани експерименту для моделей регресії типу сплайнів / Ю.Д. Григор'єв // Заводська лабораторія. Діагностика матеріалів. №11 (79). 2013.

[3] - Ордінарцева, Н.П. Планування експерименту в вимірах / Н.П. Ордінарцева // Заводська лабораторія. Діагностика матеріалів. № 03 (79). 2013.

[4] - Радянський енциклопедичний словник / під ред. А.М. Прохорова. - М .: Радянська енциклопедія, 1980.

При використанні матеріалів посилання на сайт www.sunspire.ru обов'язкове. Також, ви можете використовувати бібліографічне посилання на навчальний посібник:

"Белов, В.В. Комп'ютерна реалізація рішення науково-технічних і освітніх завдань: навчальний посібник / В.В. Бєлов, І.В. Образцов, В.К. Іванов, О.М. Конопльов // Твер: ТвГТУ, 2015 . 108 с. "