розподіл Максвелла

Розподіл по вектору імпульсу [ правити | правити код ]
Розподіл по вектору швидкості [ правити | правити код ]
Розподіл по абсолютній величині імпульсу [ правити | правити код ]
Розподіл по енергії [ правити | правити код ]
Розподіл по проекції швидкості [ правити | правити код ]
Розподіл по модулю швидкостей [ правити | правити код ]
Найбільш ймовірна швидкість [ правити | правити код ]
Середня арифметична швидкість [ правити | правити код ]
Ефективне значення швидкість [ правити | правити код ]
Умови класичного розгляду [ правити | правити код ]

Розподіл Максвелла - розподіл ймовірності , Що зустрічається в фізики і хімії . Воно лежить в основі кінетичної теорії газів , Яка пояснює багато фундаментальних властивості газів, включаючи тиск і дифузію . Розподіл Максвелла також може бути застосовано для електронних процесів переносу та інших явищ. Розподіл Максвелла можна застосувати до безлічі властивостей індивідуальних молекул в газі. Про нього зазвичай думають як про розподіл енергій молекул в газі, але воно може також застосовуватися до розподілу швидкостей, імпульсів, і модуля імпульсів молекул. Також воно може бути виражено як дискретний розподіл по безлічі дискретних рівнів енергії, або як безперервний розподіл по деякому континууму енергії.

Розподіл Максвелла може бути отримано за допомогою статистичної механіки (Див. Походження статсумми ). Як розподіл енергії, воно відповідає самому ймовірного розподілу енергії, в зіткнень-домінованих системі, що складається з великої кількості невзаимодействующих частинок, в якій квантові ефекти є незначними. Так як взаємодія між молекулами в газі є зазвичай дуже невеликим, розподіл Максвелла дає досить хороше наближення ситуації, яка існує в газі.

У багатьох інших випадках, однак, навіть приблизно не виконана умова домінування пружних зіткнень над усіма іншими процесами. Це вірно, наприклад, у фізиці іоносфери і космічної плазми , Де процеси рекомбінації і зіткнень збудження (тобто випромінювальні процеси) мають велике значення, особливо для електронів. Припущення про можливість застосування розподілу Максвелла дало б в цьому випадку не тільки кількісно невірні результати, але навіть запобігло б правильне розуміння фізики процесів на якісному рівні. Також, в тому випадку де квантова де Бройлева довжина хвилі частинок газу не є малою порівняно з відстанню між частинками, будуть спостерігатися відхилення від розподілу Максвелла через квантових ефектів.

Розподіл енергії Максвелла може бути виражено як дискретний розподіл енергії:

N i N = exp ⁡ (- E i / k T) Σ j exp ⁡ (- E j / k T) (1) {\ displaystyle {\ frac {N_ {i}} {N}} = {\ frac { \ exp \ left (-E_ {i} / kT \ right)} {\ sum _ {j} ^ {} {\ exp \ left (-E_ {j} / kT \ right)}}} \ qquad \ qquad ( 1)} $N i N = exp ⁡ (- E i / k T) Σ j exp ⁡ (- E j / k T) (1) {\ displaystyle {\ frac {N_ {i}} {N}} = {\ frac { \ exp \ left (-E_ {i} / kT \ right)} {\ sum _ {j} ^ {} {\ exp \ left (-E_ {j} / kT \ right)}}} \ qquad \ qquad ( 1)} ,$ ,

де N i {\ displaystyle N_ {i}} $де N i {\ displaystyle N_ {i}} є числом молекул, що мають енергію E i {\ displaystyle E_ {i}} при температурі системи T {\ displaystyle T} , N {\ displaystyle N} є загальним числом молекул в системі і k {\ displaystyle k} - постійна Больцмана$ є числом молекул, що мають енергію E i {\ displaystyle E_ {i}} при температурі системи T {\ displaystyle T} , N {\ displaystyle N} є загальним числом молекул в системі і k {\ displaystyle k} - постійна Больцмана . (Відзначте, що іноді вищезазначене рівняння записується з множником g i {\ displaystyle g_ {i}} , Що позначає ступінь виродження енергетичних рівнів. В цьому випадку сума буде по всьому енергій, а не всім станам системи). Оскільки швидкість пов'язана з енергією, рівняння (1) може використовуватися для отримання зв'язку між температурою і швидкостями молекул в газі. Знаменник в рівнянні (1) відомий як канонічна статистична сума .

Розподіл по вектору імпульсу [ правити | правити код ]

Представлене нижче дуже сильно відрізняється від висновку, запропонованого Джеймсом Клерком Максвеллом і пізніше описаного з меншою кількістю припущень Людвігом Больцманом .

У разі ідеального газу, що складається з невзаимодействующих атомів в основному стані, вся енергія знаходиться в формі кінетичної енергії. Кінетична енергія співвідноситься з імпульсом частинки в такий спосіб

E = p 2 2 m (2) {\ displaystyle E = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ qquad \ qquad (2)} $E = p 2 2 m (2) {\ displaystyle E = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ qquad \ qquad (2)} ,$ ,

де p 2 {\ displaystyle p ^ {2}} $де p 2 {\ displaystyle p ^ {2}} - квадрат вектора імпульсу p = [p x, p y, p z] {\ displaystyle \ mathbf {p} = [p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}]}$ - квадрат вектора імпульсу p = [p x, p y, p z] {\ displaystyle \ mathbf {p} = [p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}]} .

Ми можемо тому переписати рівняння (1) як:

N i N = 1 Z exp ⁡ [- (px 2 + py 2 + pz 2) 2 mk T] (3) {\ displaystyle {\ frac {N_ {i}} {N}} = {\ frac {1} {Z}} \ exp \ left [{\ frac {- (p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2})} {2mkT}} \ right] \ qquad \ qquad (3)} $N i N = 1 Z exp ⁡ [- (px 2 + py 2 + pz 2) 2 mk T] (3) {\ displaystyle {\ frac {N_ {i}} {N}} = {\ frac {1} {Z}} \ exp \ left [{\ frac {- (p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2})} {2mkT}} \ right] \ qquad \ qquad (3)} ,$ ,

де Z {\ displaystyle Z} $де Z {\ displaystyle Z} - статсумма , Відповідна знаменника в рівнянні (1), m {\ displaystyle m} - маса однієї молекули газу (не плутайте з молекулярної масою, вираженої в атомних одиницях), T {\ displaystyle T} - термодинамічна температура, і k {\ displaystyle k} - постійна Больцмана$ - статсумма , Відповідна знаменника в рівнянні (1), m {\ displaystyle m} - маса однієї молекули газу (не плутайте з молекулярної масою, вираженої в атомних одиницях), T {\ displaystyle T} - термодинамічна температура, і k {\ displaystyle k} - постійна Больцмана . Цей розподіл N i / N {\ displaystyle N_ {i} / N} пропорційно функції щільності ймовірності f p {\ displaystyle f _ {\ mathbf {p}}} знаходження молекули в стані з цими значеннями компонентів імпульсу. Таким чином:

fp (px, py, pz) = CZ exp ⁡ [- (px 2 + py 2 + pz 2) 2 mk T] (4) {\ displaystyle f _ {\ mathbf {p}} (p_ {x}, p_ { y}, p_ {z}) = {\ frac {C} {Z}} \ exp \ left [{\ frac {- (p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ { z} ^ {2})} {2mkT}} \ right] \ qquad \ qquad (4)} $fp (px, py, pz) = CZ exp ⁡ [- (px 2 + py 2 + pz 2) 2 mk T] (4) {\ displaystyle f _ {\ mathbf {p}} (p_ {x}, p_ { y}, p_ {z}) = {\ frac {C} {Z}} \ exp \ left [{\ frac {- (p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ { z} ^ {2})} {2mkT}} \ right] \ qquad \ qquad (4)}$

Постійна нормування C, визначається з умови, відповідно до якого ймовірність того, що молекули мають будь-якої взагалі імпульс, має дорівнювати одиниці. Тому інтеграл рівняння (4) за всіма значеннями p x, p y {\ displaystyle p_ {x} \ ,, p_ {y}} Постійна нормування C, визначається з умови, відповідно до якого ймовірність того, що молекули мають будь-якої взагалі імпульс, має дорівнювати одиниці і p z {\ displaystyle p_ {z}} має дорівнювати одиниці. Можна показати, що:

∭ - ∞ + ∞ 1 Z exp ⁡ [- (px 2 + py 2 + pz 2) 2 mk T] dpxdpydpz = 1 Z (2 π mk T) 3/2 (5) {\ displaystyle \ iiint \ limits _ { - \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {Z}} \ exp \ left [{\ frac {- (p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2})} {2mkT}} \ right] \, dp_ {x} \, dp_ {y} \, dp_ {z} = {\ frac {1} {Z}} \ left (2 \ pi mkT \ right) ^ {3/2} \ qquad \ qquad (5)} $∭ - ∞ + ∞ 1 Z exp ⁡ [- (px 2 + py 2 + pz 2) 2 mk T] dpxdpydpz = 1 Z (2 π mk T) 3/2 (5) {\ displaystyle \ iiint \ limits _ { - \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {Z}} \ exp \ left [{\ frac {- (p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2})} {2mkT}} \ right] \, dp_ {x} \, dp_ {y} \, dp_ {z} = {\ frac {1} {Z}} \ left (2 \ pi mkT \ right) ^ {3/2} \ qquad \ qquad (5)}$ .

Таким чином, щоб інтеграл в рівнянні (4) мав значення 1 необхідно, щоб

C = Z (2 π mk T) 3 (6) {\ displaystyle C = {\ frac {Z} {({\ sqrt {2 \ pi mkT}}) ^ {3}}} \ qquad \ qquad (6) } $C = Z (2 π mk T) 3 (6) {\ displaystyle C = {\ frac {Z} {({\ sqrt {2 \ pi mkT}}) ^ {3}}} \ qquad \ qquad (6) }$ .

Підставляючи вираз (6) в рівняння (4) і використовуючи той факт, що p i = m v i {\ displaystyle p_ {i} = mv_ {i}} $Підставляючи вираз (6) в рівняння (4) і використовуючи той факт, що p i = m v i {\ displaystyle p_ {i} = mv_ {i}} , ми отримаємо$ , ми отримаємо

fp (px, py, pz) = (1 2 π mk T) 3 exp ⁡ [- (px 2 + py 2 + pz 2) 2 mk T] (7) {\ displaystyle f _ {\ mathbf {p}} ( p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}) = {\ sqrt {\ left ({\ frac {1} {2 \ pi mkT}} \ right) ^ {3}}} \ exp \ left [ {\ frac {- (p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2})} {2mkT}} \ right] \ qquad \ qquad (7)} $fp (px, py, pz) = (1 2 π mk T) 3 exp ⁡ [- (px 2 + py 2 + pz 2) 2 mk T] (7) {\ displaystyle f _ {\ mathbf {p}} ( p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}) = {\ sqrt {\ left ({\ frac {1} {2 \ pi mkT}} \ right) ^ {3}}} \ exp \ left [ {\ frac {- (p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2})} {2mkT}} \ right] \ qquad \ qquad (7)}$ .

Розподіл по вектору швидкості [ правити | правити код ]

З огляду на, що щільність розподілу за швидкостями f v {\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}}} $З огляду на, що щільність розподілу за швидкостями f v {\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}}} пропорційна щільності розподілу по імпульсах:$ пропорційна щільності розподілу по імпульсах:

fvd 3 v = fp (dpdv) 3 d 3 v {\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}} d ^ {3} v = f _ {\ mathbf {p}} \ left ({\ frac {dp} {dv} } \ right) ^ {3} d ^ {3} v} $fvd 3 v = fp (dpdv) 3 d 3 v {\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}} d ^ {3} v = f _ {\ mathbf {p}} \ left ({\ frac {dp} {dv} } \ right) ^ {3} d ^ {3} v}$

і використовуючи p = m v {\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}} $і використовуючи p = m v {\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}} ми отримаємо:$ ми отримаємо:

fv (vx, vy, vz) = (m 2 π k T) 3 exp ⁡ [- m (vx 2 + vy 2 + vz 2) 2 k T] (8) {\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}} (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = {\ sqrt {\ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3}}} \ exp \ left [{\ frac {-m (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2})} {2kT}} \ right] \ qquad \ qquad (8) } $fv (vx, vy, vz) = (m 2 π k T) 3 exp ⁡ [- m (vx 2 + vy 2 + vz 2) 2 k T] (8) {\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}} (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = {\ sqrt {\ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3}}} \ exp \ left [{\ frac {-m (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2})} {2kT}} \ right] \ qquad \ qquad (8) } ,$ ,

що є розподілом Максвелла за швидкостями. Ймовірність виявлення частки в нескінченно малому елементі d v x, d v y, d v z {\ displaystyle dv_ {x} \ ,, dv_ {y} \ ,, dv_ {z}} близько швидкості v = [v x, v y, v z] {\ displaystyle \ mathbf {v} = [v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}]} дорівнює

fv (vx, vy, vz) dvxdvydvz {\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}} \ left (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ right) dv_ {x} dv_ {y} dv_ { z}} $fv (vx, vy, vz) dvxdvydvz {\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}} \ left (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ right) dv_ {x} dv_ {y} dv_ { z}}$

Розподіл по абсолютній величині імпульсу [ правити | правити код ]

Інтегруючи, ми можемо знайти розподіл по абсолютній величині імпульсу

fp = ∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π fpp 2 sin ⁡ (θ) d θ d φ = 4 π (1 2 π mk T) 3 p 2 exp ⁡ [- p 2 2 mk T] {\ displaystyle f_ {p} = \ int _ {\ theta = 0} ^ {\ pi} \ int _ {\ phi = 0} ^ {2 \ pi} ~ f _ {\ mathbf {p}} p ^ {2} \ sin (\ theta) \, d \ theta \, d \ phi = 4 \ pi {\ sqrt {\ left ({\ frac {1} {2 \ pi mkT}} \ right) ^ {3}}} ~ p ^ {2} \ exp \ left [{\ frac {-p ^ {2}} {2mkT}} \ right]} $fp = ∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π fpp 2 sin ⁡ (θ) d θ d φ = 4 π (1 2 π mk T) 3 p 2 exp ⁡ [- p 2 2 mk T] {\ displaystyle f_ {p} = \ int _ {\ theta = 0} ^ {\ pi} \ int _ {\ phi = 0} ^ {2 \ pi} ~ f _ {\ mathbf {p}} p ^ {2} \ sin (\ theta) \, d \ theta \, d \ phi = 4 \ pi {\ sqrt {\ left ({\ frac {1} {2 \ pi mkT}} \ right) ^ {3}}} ~ p ^ {2} \ exp \ left [{\ frac {-p ^ {2}} {2mkT}} \ right]}$

Розподіл по енергії [ правити | правити код ]

Нарешті, використовуючи співвідношення p 2 = 2 m E {\ displaystyle p ^ {2} = 2 \, mE} $Нарешті, використовуючи співвідношення p 2 = 2 m E {\ displaystyle p ^ {2} = 2 \, mE} і f E d E = f p d p {\ displaystyle f_ {E} \, dE = f_ {p} \, dp} , Ми отримуємо розподіл по кінетичної енергії:$ і f E d E = f p d p {\ displaystyle f_ {E} \, dE = f_ {p} \, dp} , Ми отримуємо розподіл по кінетичної енергії:

f E = fpdpd E = 2 π (π k T) 3 E exp ⁡ [- E k T] {\ displaystyle f_ {E} = f_ {p} {\ frac {dp} {dE}} = {\ frac { 2 \ pi} {\ sqrt {(\ pi kT) ^ {3}}}} {\ sqrt {E}} {} ~ \ exp \ left [{\ frac {-E} {kT}} \ right]} $f E = fpdpd E = 2 π (π k T) 3 E exp ⁡ [- E k T] {\ displaystyle f_ {E} = f_ {p} {\ frac {dp} {dE}} = {\ frac { 2 \ pi} {\ sqrt {(\ pi kT) ^ {3}}}} {\ sqrt {E}} {} ~ \ exp \ left [{\ frac {-E} {kT}} \ right]}$

Розподіл по проекції швидкості [ правити | правити код ]

Розподіл Максвелла для вектора швидкості [v x, v y, v z] {\ displaystyle [v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}]} $Розподіл Максвелла для вектора швидкості [v x, v y, v z] {\ displaystyle [v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}]} - є твором розподілів для кожного з трьох напрямків:$ - є твором розподілів для кожного з трьох напрямків:

fv (vx, vy, vz) = fv (vx) fv (vy) fv (vz) {\ displaystyle f_ {v} \ left (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ right) = f_ {v} (v_ {x}) f_ {v} (v_ {y}) f_ {v} (v_ {z})} $fv (vx, vy, vz) = fv (vx) fv (vy) fv (vz) {\ displaystyle f_ {v} \ left (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ right) = f_ {v} (v_ {x}) f_ {v} (v_ {y}) f_ {v} (v_ {z})} ,$ ,

де розподіл по одному напрямку:

fv (vi) = m 2 π k T exp ⁡ [- mvi 2 2 k T] (9) {\ displaystyle f_ {v} (v_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi kT}}} \ exp \ left [{\ frac {-mv_ {i} ^ {2}} {2kT}} \ right] \ qquad \ qquad (9)} $fv (vi) = m 2 π k T exp ⁡ [- mvi 2 2 k T] (9) {\ displaystyle f_ {v} (v_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi kT}}} \ exp \ left [{\ frac {-mv_ {i} ^ {2}} {2kT}} \ right] \ qquad \ qquad (9)}$

Цей розподіл має форму нормального розподілу . Як і слід було очікувати для покоїться газу, середня швидкість в обох напрямках дорівнює нулю.

Розподіл по модулю швидкостей [ правити | правити код ]

Зазвичай, більш цікаво розподіл за абсолютним значенням, а не за проекціями швидкостей молекул. Модуль швидкості, v визначається як:

v = vx 2 + vy 2 + vz 2 (10) {\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}} \ qquad \ qquad (10)} $v = vx 2 + vy 2 + vz 2 (10) {\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}} \ qquad \ qquad (10)}$

тому модуль швидкості завжди буде більше або дорівнює нулю. Так як все v i {\ displaystyle v_ {i}} розподілені нормально , То v 2 {\ displaystyle v ^ {2}} буде мати хі-квадрат розподіл з трьома ступенями свободи. Якщо f (v) {\ displaystyle f (\ mathbf {v})} - функція щільності ймовірності для модуля швидкості, то:

f (v) d v = P (χ 2 | 3) d χ 2 {\ displaystyle f \ left (v \ right) dv = P (\ chi ^ {2} | 3) d \ chi ^ {2}} $f (v) d v = P (χ 2 | 3) d χ 2 {\ displaystyle f \ left (v \ right) dv = P (\ chi ^ {2} | 3) d \ chi ^ {2}} ,$ ,

де

χ 2 = m v 2 k T {\ displaystyle \ chi ^ {2} = {\ frac {mv ^ {2}} {kT}}} $χ 2 = m v 2 k T {\ displaystyle \ chi ^ {2} = {\ frac {mv ^ {2}} {kT}}}$

таким чином, функція щільності ймовірності для модуля швидкості дорівнює

f (v) dv = 4 π v 2 (m 2 π k T) 3/2 exp ⁡ (- mv 2 2 k T) dv (11) {\ displaystyle f (v) dv = 4 \ pi v ^ {2 } \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3/2} \ exp \ left ({\ frac {-mv ^ {2}} {2kT}} \ right) dv \ qquad \ qquad (11)} $f (v) dv = 4 π v 2 (m 2 π k T) 3/2 exp ⁡ (- mv 2 2 k T) dv (11) {\ displaystyle f (v) dv = 4 \ pi v ^ {2 } \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3/2} \ exp \ left ({\ frac {-mv ^ {2}} {2kT}} \ right) dv \ qquad \ qquad (11)}$

Хоча Рівняння (11) дає розподіл швидкостей, або, іншими словами, частку молекул, що мають специфічну швидкість, часто більш цікаві інші величини, такі як середні швидкості частинок. У наступних підрозділах ми визначимо і отримаємо найбільш ймовірну швидкість, середню швидкість і середньоквадратичне швидкість.

Найбільш ймовірна швидкість [ правити | правити код ]

найбільш ймовірна швидкість, v p {\ displaystyle v_ {p}} $найбільш ймовірна швидкість, v p {\ displaystyle v_ {p}} - ймовірність володіння якої будь-який молекулою системи максимальна, і яка відповідає максимальному значенню щільності ймовірності розподілу f (v) {\ displaystyle f (v)} (А значить, відповідає моді цього розподілу)$ - ймовірність володіння якої будь-який молекулою системи максимальна, і яка відповідає максимальному значенню щільності ймовірності розподілу f (v) {\ displaystyle f (v)} (А значить, відповідає моді цього розподілу). Щоб знайти її, необхідно обчислити d f / d v {\ displaystyle df / dv} , Прирівняти її нулю і вирішити щодо v {\ displaystyle v} :

df (v) dv = (m 2 π k T) 3/2 exp ⁡ (- mv 2/2 k T) [8 π v + 4 π v 2 (- mv / k T)] = 0 (12) { \ displaystyle {\ frac {df (v)} {dv}} = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3/2} \ exp \ left (-mv ^ { 2} / 2kT \ right) \ left [8 \ pi v + 4 \ pi v ^ {2} (- mv / kT) \ right] = 0 \ qquad \ qquad (12)} $df (v) dv = (m 2 π k T) 3/2 exp ⁡ (- mv 2/2 k T) [8 π v + 4 π v 2 (- mv / k T)] = 0 (12) { \ displaystyle {\ frac {df (v)} {dv}} = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3/2} \ exp \ left (-mv ^ { 2} / 2kT \ right) \ left [8 \ pi v + 4 \ pi v ^ {2} (- mv / kT) \ right] = 0 \ qquad \ qquad (12)} vp = 2 k T m = 2 RT μ (13) {\ displaystyle v_ {p} = {\ sqrt {\ frac {2kT} {m}}} = {\ sqrt {\ frac {2RT} {\ mu}} } \ qquad \ qquad (13)}$ vp = 2 k T m = 2 RT μ (13) {\ displaystyle v_ {p} = {\ sqrt {\ frac {2kT} {m}}} = {\ sqrt {\ frac {2RT} {\ mu}} } \ qquad \ qquad (13)}

де m {\ displaystyle {m}} $де m {\ displaystyle {m}} - маса, що розглядається частки, μ {\ displaystyle {\ mu}} - молярна маса$ - маса, що розглядається частки, μ {\ displaystyle {\ mu}} - молярна маса.

Середня арифметична швидкість [ правити | правити код ]

⟨V⟩ = ∫ 0 ∞ vf (v) dv (14) {\ displaystyle \ langle v \ rangle = \ int \ limits _ {0} ^ {\ infty} v \, f (v) \, dv \ qquad \ qquad (14)} $⟨V⟩ = ∫ 0 ∞ vf (v) dv (14) {\ displaystyle \ langle v \ rangle = \ int \ limits _ {0} ^ {\ infty} v \, f (v) \, dv \ qquad \ qquad (14)}$

Підставляючи f (v) {\ displaystyle f (v)} $Підставляючи f (v) {\ displaystyle f (v)} і інтегруючи, ми отримаємо$ і інтегруючи, ми отримаємо

⟨V⟩ = 8 k T π m = 8 RT π μ (15) {\ displaystyle \ langle v \ rangle = {\ sqrt {\ frac {8kT} {\ pi m}}} = {\ sqrt {\ frac { 8RT} {\ pi \ mu}}} \ qquad \ qquad (15)} $⟨V⟩ = 8 k T π m = 8 RT π μ (15) {\ displaystyle \ langle v \ rangle = {\ sqrt {\ frac {8kT} {\ pi m}}} = {\ sqrt {\ frac { 8RT} {\ pi \ mu}}} \ qquad \ qquad (15)}$

Ефективне значення швидкість [ правити | правити код ]

⟨V '2⟩ = ∫ 0 ∞ v 2 f (v) dv (16) {\ displaystyle \ langle v' ^ {2} \ rangle = \ int \ limits _ {0} ^ {\ infty} v ^ {2 } \, f (v) \, dv \ qquad \ qquad (16)} $⟨V '2⟩ = ∫ 0 ∞ v 2 f (v) dv (16) {\ displaystyle \ langle v' ^ {2} \ rangle = \ int \ limits _ {0} ^ {\ infty} v ^ {2 } \, f (v) \, dv \ qquad \ qquad (16)}$

⟨V '2⟩ = 3 k T m = 3 RT μ (17) {\ displaystyle {\ sqrt {\ langle v' ^ {2} \ rangle}} = {\ sqrt {\ frac {3kT} {m}} } = {\ sqrt {\ frac {3RT} {\ mu}}} \ qquad \ qquad (17)} $⟨V '2⟩ = 3 k T m = 3 RT μ (17) {\ displaystyle {\ sqrt {\ langle v' ^ {2} \ rangle}} = {\ sqrt {\ frac {3kT} {m}} } = {\ sqrt {\ frac {3RT} {\ mu}}} \ qquad \ qquad (17)}$

Отримаємо тепер формулу розподілу так, як це робив сам Джеймс Клерк Максвелл [1] [2] .
Розглянемо простір швидкісних точок (кожну швидкість молекули представляємо як точку (швидкісну точку) в системі координат O v x v y v z {\ displaystyle Ov_ {x} v_ {y} v_ {z}} Отримаємо тепер формулу розподілу так, як це робив сам Джеймс Клерк Максвелл [1] [2] в стаціонарному стані газу. виберемо нескінченно малий елемент об'єму d v x d v y d v z {\ displaystyle dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}} . Так як газ стаціонарний, кількість швидкісних точок в d v x d v y d v z {\ displaystyle dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}} залишається незмінним з плином часу. простір швидкостей изотропно , Тому функції щільності ймовірності для всіх напрямків однакові.

d P (vx) = φ (vx) dvxd P (vy) = φ (vy) dvyd P (vz) = φ (vz) dvz {\ displaystyle dP (v_ {x}) = \ varphi (v_ {x}) dv_ {x} \ qquad dP (v_ {y}) = \ varphi (v_ {y}) dv_ {y} \ qquad dP (v_ {z}) = \ varphi (v_ {z}) dv_ {z}} $d P (vx) = φ (vx) dvxd P (vy) = φ (vy) dvyd P (vz) = φ (vz) dvz {\ displaystyle dP (v_ {x}) = \ varphi (v_ {x}) dv_ {x} \ qquad dP (v_ {y}) = \ varphi (v_ {y}) dv_ {y} \ qquad dP (v_ {z}) = \ varphi (v_ {z}) dv_ {z}}$

Максвелл припустив, що розподілу швидкостей за напрямками статистично незалежні, тобто компонента v x {\ displaystyle v_ {x}} $Максвелл припустив, що розподілу швидкостей за напрямками статистично незалежні, тобто компонента v x {\ displaystyle v_ {x}} швидкості молекули не залежить від y - {\ displaystyle y-} і z - {\ displaystyle z-} компонент$ швидкості молекули не залежить від y - {\ displaystyle y-} і z - {\ displaystyle z-} компонент.

d P (vx, vy, vz) = φ (vx) φ (vy) φ (vz) ⏟ f (v) dvxdvydvz {\ displaystyle dP (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = \ underbrace {\ varphi (v_ {x}) \ varphi (v_ {y}) \ varphi (v_ {z})} _ {f (v)} dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}} $d P (vx, vy, vz) = φ (vx) φ (vy) φ (vz) ⏟ f (v) dvxdvydvz {\ displaystyle dP (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = \ underbrace {\ varphi (v_ {x}) \ varphi (v_ {y}) \ varphi (v_ {z})} _ {f (v)} dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}} - фактично ймовірність знаходження швидкісний точки в обсязі d v x d v y d v z {\ displaystyle dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}}$ - фактично ймовірність знаходження швидкісний точки в обсязі d v x d v y d v z {\ displaystyle dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}} . f (v) = φ (v x) φ (v y) φ (v z) {\ displaystyle f (v) = \ varphi (v_ {x}) \ varphi (v_ {y}) \ varphi (v_ {z})} ln ⁡ f (v) = ln ⁡ φ (v x) + ln ⁡ φ (v y) + ln ⁡ φ (v z) | ∂ ∂ vx {\ displaystyle \ ln f (v) = \ ln \ varphi (v_ {x}) + \ ln \ varphi (v_ {y}) + \ ln \ varphi (v_ {z}) \ quad {\ bigg |} \ quad {\ frac {\ partial} {\ partial v_ {x}}}} f '(v) f (v) ∂ v ∂ vx = φ' (vx) φ (vx) {\ displaystyle {\ frac {f '(v)} {f (v)}} {\ frac {\ partial v } {\ partial v_ {x}}} = {\ frac {\ varphi '(v_ {x})} {\ varphi (v_ {x})}}} ∂ v ∂ v x = v x v {\ displaystyle {\ frac {\ partial v} {\ partial v_ {x}}} = {\ frac {v_ {x}} {v}}} 1 vf '(v) f (v) = 1 vx φ' (vx) φ (vx) {\ displaystyle {\ frac {1} {v}} {\ frac {f '(v)} {f (v) }} = {\ frac {1} {v_ {x}}} {\ frac {\ varphi '(v_ {x})} {\ varphi (v_ {x})}}}

Права частина не залежить від v y {\ displaystyle v_ {y}} $Права частина не залежить від v y {\ displaystyle v_ {y}} і v z {\ displaystyle v_ {z}} , Значить і ліва від v y {\ displaystyle v_ {y}} і v z {\ displaystyle v_ {z}} не залежить$ і v z {\ displaystyle v_ {z}} , Значить і ліва від v y {\ displaystyle v_ {y}} і v z {\ displaystyle v_ {z}} не залежить. Однак v x {\ displaystyle v_ {x}} і v y {\ displaystyle v_ {y}} рівноправні, отже ліва частина не залежить також і від v x {\ displaystyle v_ {x}} . Значить цей вислів може лише дорівнювати деякої константи.

1 v f '(v) f (v) = - α {\ displaystyle {\ frac {1} {v}} {\ frac {f' (v)} {f (v)}} = - \ alpha} $1 v f '(v) f (v) = - α {\ displaystyle {\ frac {1} {v}} {\ frac {f' (v)} {f (v)}} = - \ alpha} φ '(v x) φ (v x) = - α v x {\ displaystyle {\ frac {\ varphi' (v_ {x})} {\ varphi (v_ {x})}} = - \ alpha v_ {x}} φ (vx) = A e - α vx 2 2 {\ displaystyle \ varphi (v_ {x}) = Ae ^ {- {\ frac {\ alpha {v_ {x}} ^ {2}} {2}}} } ∫ - ∞ ∞ φ (vx) dvx = 1 ⇒ A ∫ - ∞ ∞ e - α vx 2 2 dvx = A 2 α π = 1 ⇒ A = α 2 π {\ displaystyle \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi (v_ {x}) \, dv_ {x} = 1 \ qquad \ Rightarrow \ qquad A \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {\ alpha {v_ {x}} ^ {2}} {2}}} \, dv_ {x} = A \, {\ sqrt {\ frac {2} {\ alpha}}} \, {\ sqrt { \ pi}} = 1 \ qquad \ Rightarrow \ qquad A = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}}} φ (vx) = α 2 π e - α vx 2 2 {\ displaystyle \ varphi (v_ {x}) = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {\ alpha {v_ {x}} ^ {2}} {2}}}}$ φ '(v x) φ (v x) = - α v x {\ displaystyle {\ frac {\ varphi' (v_ {x})} {\ varphi (v_ {x})}} = - \ alpha v_ {x}} φ (vx) = A e - α vx 2 2 {\ displaystyle \ varphi (v_ {x}) = Ae ^ {- {\ frac {\ alpha {v_ {x}} ^ {2}} {2}}} } ∫ - ∞ ∞ φ (vx) dvx = 1 ⇒ A ∫ - ∞ ∞ e - α vx 2 2 dvx = A 2 α π = 1 ⇒ A = α 2 π {\ displaystyle \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi (v_ {x}) \, dv_ {x} = 1 \ qquad \ Rightarrow \ qquad A \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {\ alpha {v_ {x}} ^ {2}} {2}}} \, dv_ {x} = A \, {\ sqrt {\ frac {2} {\ alpha}}} \, {\ sqrt { \ pi}} = 1 \ qquad \ Rightarrow \ qquad A = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}}} φ (vx) = α 2 π e - α vx 2 2 {\ displaystyle \ varphi (v_ {x}) = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {\ alpha {v_ {x}} ^ {2}} {2}}}}

Тепер потрібно зробити принциповий крок - ввести температуру. кінетичне визначення температури (Як заходи середньої кінетичної енергії руху молекул):

⟨M v 2 2⟩ = 3 2 k T, {\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right \ rangle = {\ frac {3} {2}} kT,} $⟨M v 2 2⟩ = 3 2 k T, {\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right \ rangle = {\ frac {3} {2}} kT,}$

де k = 1.380649 ⋅ 10 - 23 {\ displaystyle k = 1.380649 \ cdot 10 ^ {- 23}} Дж / К - постійна Больцмана .

v = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}} $v = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}$

З огляду на рівноправності всіх напрямків:

⟨Vx 2⟩ = ⟨vy 2⟩ = ⟨vz 2⟩ = 1 3 ⟨v 2⟩ = k T m {\ displaystyle \ langle v_ {x} ^ {2} \ rangle = \ langle v_ {y} ^ {2 } \ rangle = \ langle v_ {z} ^ {2} \ rangle = {\ frac {1} {3}} \ langle v ^ {2} \ rangle = {\ frac {kT} {m}}} $⟨Vx 2⟩ = ⟨vy 2⟩ = ⟨vz 2⟩ = 1 3 ⟨v 2⟩ = k T m {\ displaystyle \ langle v_ {x} ^ {2} \ rangle = \ langle v_ {y} ^ {2 } \ rangle = \ langle v_ {z} ^ {2} \ rangle = {\ frac {1} {3}} \ langle v ^ {2} \ rangle = {\ frac {kT} {m}}}$

Щоб знайти середнє значення v x 2 {\ displaystyle v_ {x} ^ {2}} $Щоб знайти середнє значення v x 2 {\ displaystyle v_ {x} ^ {2}} , Проинтегрируем її разом з функцією щільності ймовірності від мінус до плюс нескінченності:$ , Проинтегрируем її разом з функцією щільності ймовірності від мінус до плюс нескінченності:

k T m = ∫ - ∞ ∞ vx 2 φ (vx) dvx = α 2 π ∫ - ∞ ∞ vx 2 e - α vx 2 2 dvx = α 2 π [- 2 dd α ∫ - ∞ ∞ e - α vx 2 2 dvx] = - 2 α 2 π δ δ α 2 π α = - 2 α (- 1 2 α - 3 2) = 1 α {\ displaystyle {\ frac {kT} {m}} = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} {v_ {x}} ^ {2} \, \ varphi (v_ {x}) \, dv_ {x} = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}} \, \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} v_ {x} ^ {2} \, e ^ {- {\ frac {\ alpha {v_ {x}} ^ {2 }} {2}}} \, dv_ {x} = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}} \ left [-2 \, {\ frac {d} {d \ alpha}} \, \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {\ alpha {v_ {x}} ^ {2}} {2}}} \, dv_ {x} \ right] = - 2 \, {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}} \, {\ frac {\ delta} {\ delta \ alpha}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi } {\ alpha}}} = - 2 {\ sqrt {\ alpha}} (- {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {- {\ frac {3} {2}}}) = {\ frac {1} {\ alpha}}} $k T m = ∫ - ∞ ∞ vx 2 φ (vx) dvx = α 2 π ∫ - ∞ ∞ vx 2 e - α vx 2 2 dvx = α 2 π [- 2 dd α ∫ - ∞ ∞ e - α vx 2 2 dvx] = - 2 α 2 π δ δ α 2 π α = - 2 α (- 1 2 α - 3 2) = 1 α {\ displaystyle {\ frac {kT} {m}} = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} {v_ {x}} ^ {2} \, \ varphi (v_ {x}) \, dv_ {x} = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}} \, \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} v_ {x} ^ {2} \, e ^ {- {\ frac {\ alpha {v_ {x}} ^ {2 }} {2}}} \, dv_ {x} = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}} \ left [-2 \, {\ frac {d} {d \ alpha}} \, \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {\ alpha {v_ {x}} ^ {2}} {2}}} \, dv_ {x} \ right] = - 2 \, {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}} \, {\ frac {\ delta} {\ delta \ alpha}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi } {\ alpha}}} = - 2 {\ sqrt {\ alpha}} (- {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {- {\ frac {3} {2}}}) = {\ frac {1} {\ alpha}}}$

Звідси знайдемо α {\ displaystyle \ alpha} $Звідси знайдемо α {\ displaystyle \ alpha} :$ :

α = m k T {\ displaystyle \ alpha = {\ frac {m} {kT}}} $α = m k T {\ displaystyle \ alpha = {\ frac {m} {kT}}}$

Функція розподілу щільності ймовірності для v x {\ displaystyle v_ {x}} $Функція розподілу щільності ймовірності для v x {\ displaystyle v_ {x}} (Для v y {\ displaystyle v_ {y}} і v z {\ displaystyle v_ {z}} аналогічно):$ (Для v y {\ displaystyle v_ {y}} і v z {\ displaystyle v_ {z}} аналогічно):

φ (vx) = (m 2 π k T) 1 2 e - mvx 2 2 k T {\ displaystyle \ varphi (v_ {x}) = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \, e ^ {- {\ frac {mv_ {x} ^ {2}} {2kT}}}} $φ (vx) = (m 2 π k T) 1 2 e - mvx 2 2 k T {\ displaystyle \ varphi (v_ {x}) = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \, e ^ {- {\ frac {mv_ {x} ^ {2}} {2kT}}}}$

Тепер розглянемо розподіл за величиною швидкості. Повернемося в простір швидкісних точок. Всі точки з модулем швидкості v ⊂ [v; v + d v] {\ displaystyle v \ subset [v; v + dv]} лежать в кульовому шарі радіусу v {\ displaystyle v} і товщини d v {\ displaystyle dv} , І d v x d v y d v z {\ displaystyle dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}} - обсяг цього кульового шару.

d P (vx, vy, vz) = φ (vx) φ (vy) φ (vz) dvxdvydvz {\ displaystyle dP (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = \ varphi (v_ {x }) \ varphi (v_ {y}) \ varphi (v_ {z}) dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}} $d P (vx, vy, vz) = φ (vx) φ (vy) φ (vz) dvxdvydvz {\ displaystyle dP (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = \ varphi (v_ {x }) \ varphi (v_ {y}) \ varphi (v_ {z}) dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}} d P (vx, vy, vz) ⏟ d P (v) = (m 2 π k T) 3$ d P (vx, vy, vz) ⏟ d P (v) = (m 2 π k T) 3. 2 e - mvx 2 + mvy 2 + mvz 2 2 k T dvxdvydvz ⏟ 4 π v 2 dv {\ displaystyle \ underbrace {dP (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})} _ {dP (v)} = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \, e ^ {- {\ frac {mv_ {x} ^ {2} + mv_ {y} ^ {2} + mv_ {z} ^ {2}} {2kT}}} \ underbrace {dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}} _ {4 \ pi v ^ {2} dv}} d P (v) = 4 π (m 2 π k T) 3. 2 v 2 e - mv 2 2 k T ⏟ F (v) dv {\ displaystyle dP (v) = \ underbrace {4 \ pi \, \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \, v ^ {2} \, e ^ {- {\ frac {mv ^ {2} } {2kT}}}} _ {F (v)} dv}

Таким чином, ми отримали функцію щільності ймовірності F (v) {\ displaystyle F (v)} $Таким чином, ми отримали функцію щільності ймовірності F (v) {\ displaystyle F (v)} , Яка і є розподілом Максвелла$ , Яка і є розподілом Максвелла.

Умови застосовності розподілу Максвелла:

1. рівноважний стан системи, що складається з великого числа частинок. 2. ізотропна система. 3. Класична система. Це означає, що система повинна бути не релятивістської і не квантової 4. зіткнень-домінованих система (взаємодія частинок допускається, але лише в разі, коли воно залежить тільки від відносного положення часток).

Умови класичного розгляду [ правити | правити код ]

Розглядаємо обсяг xyz в газі, на який в середньому припадає 1 частка. Щоб невизначеності в координаті і імпульсі не грали ролі і застосовувалася б класична, а не квантова механіка, повинні виконуватися співвідношення:

x p x »h y p y» h z p z »h, {\ displaystyle xp_ {x} \ gg h \ qquad yp_ {y} \ gg h \ qquad zp_ {z} \ gg h, \ qquad} $x p x »h y p y» h z p z »h, {\ displaystyle xp_ {x} \ gg h \ qquad yp_ {y} \ gg h \ qquad zp_ {z} \ gg h, \ qquad} де h {\ displaystyle h} - постійна Планка$ де h {\ displaystyle h} - постійна Планка. V p 3 »h 3; V = 1 n {\ displaystyle Vp ^ {3} \ gg h ^ {3}; \ qquad V = {\ frac {1} {n}} \ qquad} - обсяг, що припадає на частку - це повний (одиничний) обсяг, поділений на кількість частинок. n (h p) 3 «1 {\ displaystyle n \, {\ left ({\ frac {h} {p}} \ right)} ^ {3} \ ll 1} n 1 3 hm 3 k T m «1 {\ displaystyle n ^ {\ frac {1} {3}} \, {\ frac {h} {m \, {\ sqrt {\ frac {3kT} {m}} }}} \ ll 1} n 2 3 h 2 3 m k T «1 {\ displaystyle {\ frac {n ^ {\ frac {2} {3}} h ^ {2}} {3mkT}} \ ll 1} T »n 2 3 h 2 3 mk = T deg {\ displaystyle T \ gg {\ frac {n ^ {\ frac {2} {3}} h ^ {2}} {3mk}} = T_ {deg} \ qquad} - температура виродження .

При температурах (1.2.3) нижче T d e g {\ displaystyle T_ {deg}} газ стає виродженим, і розподіл Максвелла до нього застосовувати не можна.

↑ teach-in. Караваєв В. А. - Молекулярна фізика - Граничні випадки біноміального розподілу (неопр.) (26 липня 2017). Дата обігу 3 березня 2019.
↑ teach-in. Караваєв В. А. - Молекулярна фізика - Розподіл Максвелла (неопр.) (26 липня 2017). Дата обігу 3 березня 2019.

http://www.falstad.com/gas/