ДЕЯКІ МЕХАНІЗМИ ФОРМУВАННЯ СТРУКТУР турбулентний потік в трубі

ВІСНИК КРСУ / № 5, 2003 р

УДК 537.523 (575.2) (04)

The simplest models of flow motion and evolution of gas fluxes along cylindrical channels are studied to understand a process of turbulence generation.

В [1] обговорюються можливі сценарії розвитку турбулентності в циліндричній трубі на ділянці розвиненого перебігу газу. Використані профілі швидкості формуються під впливом збурень кінцевої величини, оскільки пуазейлево протягом стійко по відношенню до малих збурень [2]. При цьому кінцеві обурення можуть потрапляти в розвинене протягом з вхідних перетинів труби разом з потоком газу.

Метою даної роботи є розширення фізичних уявлень про механізми турбулізації течії газу в трубі. При цьому робиться спроба пов'язати процес турбулізації зі зменшенням ентропії потоку.

Аналізуються ситуації, в яких ламінарний плин може втрачати стійкість і турбулізоваться. Вважається, що такий перехід повинен супроводжуватися зростанням впорядкованості системи і відповідним зменшенням ентропії [3].

Мал. 1. Схема течії.

Розглянемо стаціонарне, ізотермічний ламінарний плин в трубі. Вважаючи довжину труби L значно більшою її діаметра d = 2R, введемо циліндричну систему координат, початок якої лежить в центрі вхідного перетину труби (рис. 1). Ось z вважаємо збігається з віссю труби, вісь r - спрямованої від осі труби до стінки.

В цьому випадку для опису течії газу можна використовувати систему рівнянь газової динаміки в наближенні прикордонного шару:

де ρ і P - щільність і тиск газу; u і ν - аксіальна і радіальна складові швидкості, відповідно. Розподіл тиску в трубі в разі нестисливої ​​середовища визначається перепадом тиску на кінцях труби, а при необхідності врахування стисливості система рівнянь доповнюється рівнянням стану.

Граничні умови мають вигляд:

при r = 0, z≥0 - умова симетрії,

u = 0, (4)

при r = R, z≥0 - умова прилипання,

u = u0 (r) (5)

при z = 0, z≤r≤R - умова на вході каналу.

При аналізі причин, що викликають появу турбулентних збурень, слід мати на увазі, що турбулентність за своєю природою явище нестаціонарне, тривимірне і в певній мірі стохастическое. Математична постановка задачі типу (1 ÷ 5) істотно звужує і збіднює спектр можливих причин, механізмів і рішень в порівнянні з можливостями реального перебігу. Отже, не можна виключати ймовірність того, що якісь вирішальні чинники, що існують в реальному потоці, можуть виявитися неврахованими моделлю або будуть відображатися нею неадекватно.

Перш за все, це відноситься до умови (5). Профіль швидкості у вхідному перерізі u0 (r) "відповідає" за облік передісторії потоку і, зокрема, за врахування ролі зовнішніх збурень, що вносяться потоком в розрахункове поле. Вид функції u0 (r) часто буває невідомим, і вона задається в значній мірі довільно. Досвід показує [4], що на вхідному ділянці труби можуть виникати водоворотних зони, відрив потоку від стінки і інші складні для моделювання явища, які можуть бути джерелами турбулентних збурень.

З іншого боку, самі рівняння моделі (1-3) на початковій ділянці труби виявляються занадто спрощеними і не годяться для сприйняття "вхідний" інформації в повному обсязі.

Ускладнення ж форми запису рівнянь газової динаміки, крім математичного ускладнення моделі, призводить до ще більшого зростання невизначеності в граничних умовах. Мабуть, оптимальним рішенням проблеми вхідних умов було б проведення модельних розрахунків течії перед входом в трубу (область z

На користь цього твердження можна навести такий аргумент. Для забезпечення плавного входу в трубу і гасіння збурень, що приходять ззовні, використовують спеціальним чином профільований нециліндричну вхідний ділянку труби, звужується до діаметра вхідного каналу і зберігає осьову симетрію [7]. Зокрема, в установці О.Рейнольдса він мав колоколообразную форму [9]. Природно, що ця ділянка відрізнявся від основної течії в каналі, що вимагає окремого розгляду.

Таким чином, важливість завдання вхідних умов, адекватних реальним, для отримання розрахунковим шляхом реальної картини переходу ламінарного течії в турбулентний є досить очевидною.

Існування згаданого вище відриву потоку від стінки призведе до порушення умови прилипання (4), а поява в потоці каналу тороїдальних вихрових структур, вельми схильних до азимутним нестійкість [9], може привести до втрати симетрії завдання. Крім того, відмова від наближення сплошности, яке використовується в моделі, але не завжди існує в реальності, допускає появу тангенціальних розривів швидкості, які "розмиваються" в структури турбулентного сліду [2]. І, нарешті, відзначимо, що тимчасова еволюція будь-якого обурення не може бути відстежено за допомогою стаціонарних рівнянь (1-3).

Проаналізуємо інформацію про турбулентності, яка залишається в системі (1-3), з урахуванням всіх перерахованих обмежень, в надії на те, що ця інформація буде досить "прозорою" і доступній для огляду, якщо розглядати локальні зміни ентропії як критерій турбулізації або ламинаризации потоку [3 ].

Звернемося до рівняння нерозривності (1). Воно, з одного боку, в найменшій мірі піддано спрощень, з іншого, потрібно його неухильне виконання, в той час як рівняння руху мають можливість "підлаштовуватися" під вимоги рівняння нерозривності.

Для труби з непроникними стінками з постійності витрати уздовж осі z слід співвідношення:

де R = R (z) - змінний радіус труби.

У разі труби постійного радіуса з (6) випливає, що

Тоді з (1) отримуємо, що

де Ψ (r) - функція струму.

Таким чином, протягом в циліндричному каналі, навіть на його початковій ділянці, є одновимірним, незалежно від стисливості середовища і від того, чи є протягом в'язким або нев'язки.

Одномірність потоку в трубі може порушуватися в наступних випадках:

1. якщо профіль швидкості u (r) буде знакозмінних;
2. відбудеться відрив потоку від стінки каналу;
3. є розриви в профілі швидкості u (r).

Знакопеременность u (r) говорить про наявність або вихрового, або зворотного течії в якійсь області перетину труби. Відриви від стінки або розриви (тангенціальні) швидкості досить швидко трансформуються в вихрові структури турбулентного сліду [2].

Але тоді в зазначених випадках профіль швидкості буде мати хоча б одну точку перегину, а це відповідно до теореми Релея-Толмін [5] є необхідною і достатньою умовою нестійкості потоку.

Якщо ж поперечний переріз труби змінюється уздовж z, то потік в каналі є свідомо неодномерность. У цьому випадку, щоб задовольнити закону сталості витрати (6), необхідно відмовитися від умови "прилипання" і допустити наявність "прослизання" потоку щодо стінки. При цьому в дифузорі полегшується відрив прикордонного шару від поверхні каналу, а в конфузорі відрив, навпаки, ускладнений наявністю динамічного напору потоку на стінку.

Це можна пояснити наступним чином. Для стаціонарного течії нестисливого газу, вважаючи швидкість проковзування потоку щодо стінки uR> 0, можна (6) привести до виду:

де - середнє по перетину труби прискорення потоку.

Як видно з (9), потік в дифузорі ( ) Гальмується, а в конфузорі ( ) Прискорюється. У дифузорі ламінарний плин легко розпадається на вихори, так як процес гальмування при великих швидкостях супроводжується інтенсивним вихреобразование [6].

У ускоряющемся потоці конфузора випадкове початкове обурення, наростаюче з часом, переміщається в просторі і тому в фіксованій точці простору обурення зникає через певний проміжок часу. Іншими словами, з'являється в конфузорі нестійкість є конвективного нестійкістю.

Результатом описаних процесів є той відомий факт [7], що критичне число Re для дифузора менше, а для конфузора більше, ніж для циліндричної труби.

Обчислимо тепер зміни ентропії в потоці. Для цього виділимо на деякій лінії струму в точці 1 елементарний об'єм, що містить N частинок. Користуючись виразом для ентропії S ідеального газу [8], зміна ентропії цих частинок при їх ізотермічному переміщенні в близьку до 1 точку 2 можна визначити співвідношенням:

Відповідно до [3] будемо вважати, що при ΔS> 0 в потоці газу йде природний процес хаотизации з ростом ентропії, при ΔS

Якщо поперечний переріз труби змінюється настільки повільно, що в першому наближенні потік можна вважати одномірним, то, нехтуючи в'язкістю і сжимаемостью газу, з (2) і (6) отримуємо:

де - позитивна кінцева величина.

З (10) з урахуванням (11) випливає, що ΔS0 в конфузорі.

Розглянемо тепер кілька окремих випадків перебігу в трубі.

Усталений рух нев'язкого нестисливого газу в каналі. Нехай невязке, нестисливий газ перетікає по циліндричній трубі з області з тиском P0 в область з тиском P1. При цьому вважаємо, що P0> P1 (рис. 1).

Згідно (7), (1) і (2) рівняння, що описують руху газу в трубі, приймають вид:

З (12) випливає, що нестисливий і невязке газ проходить через трубу, не створюючи всередині неї перепаду тиску і зберігаючи незмінним радіальний профіль поздовжньої швидкості, тобто рухається за інерцією. Прискорює дію перепаду тиску (P0 - P1) проявляється вже в струмені, що виходить з труби.

При цьому, відповідно до (10), ентропія потоку зростає і, отже, на ділянці прискорення протягом повинно залишитися ламінарним. Далі, вниз за течією, струмінь, розширюючись, гальмується, ентропія потоку зменшується, і він стає турбулентним.

Мал. 1. Нестійкість круглої струменя.

На рис. 2, взятому з [9], приведена тіньова фотографія круглої струменя СО2, що випливає в повітря з сопла діаметром 6,35 мм зі швидкістю 38,71 м / с при числі Re = 30000. Видно, що при виході з сопла, на відстані близько діаметра каналу струмінь ламінарними, потім з'являється нестійкість і перехід до турбулентного режиму. Як видно на рис. 2, наведене вище якісний опис характеру течії на основі співвідношення (10) узгоджується зі спостереженнями.

Зауважимо, що градієнт тиску на ламинарном ділянці струменя:

в силу того, що L >> 2R, значно більше величини (P0 - P1) / L, яку зазвичай використовують для опису в'язкої течії газу в трубі.

У разі течії з протитиском, коли виконується умова:

Протягом в каналі і раніше описується співвідношеннями (12), проте за межами труби (z> L) потік гальмується на всьому протязі струменя. При цьому ділянка ламінарної течії, що існував в попередньому випадку, тепер стає ділянкою інтенсивного гальмування потоку з позитивним градієнтом тиску, який визначається співвідношенням (13). Ентропія потоку при цьому зменшується і йде процес турбулентного структуроутворення.

Відзначимо також, що в області z

Як зазначається в [2], кордоном застосовності рівнянь Ейлера, а в даному випадку співвідношень (12), до турбулентному руху є області з розмірами порядку мінімального масштабу турбулентності:

λ ~ l / Re 3/4

де l - зовнішній масштаб турбулентності; Re - число Рейнольдса потоку.

Отже, можна вважати, що модель нев'язкого газу "впевнено зауважує" тільки обурення з масштабами:

λ >> λ0.

Вважаючи l ~ 10-2м, Re = Reкр = 2300, отримуємо:

λ0 ~ 10-5м.

Слід зазначити, що навіть збурень з масштабами λ >> λ0 протягом "не дозволяє" еволюціонувати в потоці, всередині труби, оскільки є ізентропіческім.

Ізотермічне протягом нев'язкого стиснення газу. Розглянемо задачу попереднього розділу, враховуючи стисливість газу. Систему рівнянь (1-3) доповнимо рівнянням стану досконалого газу:

P = Aρ, (15)

де A = const. З (15) випливає, що

Рівняння руху, як рівняння Бернуллі, з урахуванням изотермичности потоку можна записати в такий спосіб [10]:

Тут індексом "0" відзначені величини у вхідному перетині труби, без індексу - всередині каналу.

Зі співвідношень (7) і (15) отримуємо, що

З урахуванням (18) вираз (17) можна записати у вигляді:

тут - число Ейлера; - швидкість газу на лінії струму в трубі, нормована на величину u0.

Величина Eu визначається початковими умовами і, отже, залишається постійною величиною. Тоді з (19) видно, що швидкість газу на лінії струму в трубі змінюється стрибкоподібно у вхідному перетині каналу, залишаючись надалі постійної уздовж z, всередині труби. Тиск і щільність змінюються при цьому відповідно до (18). Таким чином, за винятком зазначеної особливості при z ≈ 0, даний випадок схожий на попередній.

В області z ≈ 0 можливі 3 типи процесів:

а) Eu> 1, тобто P0> ρ0u0. При цьому з (18) випливає

Відповідно до (10) ΔS> 0. В цьому випадку при переході через початкове перетин швидкість зростає стрибкоподібно, а тиск і щільність таким же чином знижуються. Ентропія при цьому зростає, що говорить про хаотизации потоку;

б) Eu = 1, тобто P0 = ρ0u02, ΔS = 0.

Це випадок ізоентропіческого течії з постійними параметрами u = u0, P = P0, ρ = ρ0;

в) 0 0 0u02, ΔS

В області z ≈ 0 стрибком зменшується швидкість, зростають щільність і тиск газу. Ентропія при цьому зменшується, відбувається упорядкування потоку, яке можна розглядати як прагнення до його турбулізації.

Одномірне ізотермічний протягом стискається в'язкого газу. Будемо вважати газ досконалим. Систему рівнянь в цьому випадку можна записати у вигляді:

де - універсальна газова постійна; μ * - молярна маса газу; T абсолютна температура.

З урахуванням перших двох рівнянь (20), третє рівняння можна переписати у вигляді:

В силу існування умов прилипання швидкості на стінці і максимальності її значення на осі, профіль u (r) монотонно спадає по радіусу, а похідна негативна і також монотонно зменшується від осі до стінки. Такі профілі дають . Тоді з (21) маємо:

де - ізотермічна швидкість звуку.

З (22), з урахуванням (10), можна отримати нерівність:

З (22) і (23) видно, що якщо швидкість потоку в деякій точці більше ізотермічної швидкості звуку, то градієнт тиску в цій точці гальмує потік, а ентропія газу зменшується. При швидкості меншій ізотермічної - картина зворотна. Зменшення ентропії в першому випадку обумовлено тим, що градієнт тиску і в'язкі сили здійснюють роботу над елементом маси газу. Елемент може отримувати при цьому енергію в механічну формі. Припущення изотермичности течії, що використовується в моделі, "забороняє" перетворення цієї енергії в тепло і система "перерозподіляє" її по внутрішнім, механічним ступенями свободи (вихровим), формуючи тим самим турбулентні структури.

Формування структур стимулюється тим обставиною, що між дозвуковим і надзвуковим режимами в стаціонарному випадку немає плавного переходу. Дійсно, як випливає з (21), при u = CT профіль швидкості перестає залежати від градієнта тиску і описується рівнянням:

Рішення (24), що задовольняє умові прилипання на стінці, має вигляд:

де a - довільна постійна.

Таке рішення, з одного боку, дає нескінченно велику швидкість на осі каналу, з іншого, суперечить умові u = CT поблизу стінки. Таким чином, область застосовності рішення (25) просторово повинна бути обмежена тангенціальними розривами швидкості, які, як відомо, трансформуються в структури турбулентного сліду [2, 6].

Отже, перехід з дозвукового режиму течії в надзвуковий є нестаціонарним процесом. Це відповідає спостереженням, згідно з якими ламінарний і турбулентний режими розділені нестаціонарним режимом перемежаемости [2, 7].

Відмова від припущення про изотермичности потоку дещо ускладнить картину еволюції ентропії через те, що частина механічної енергії за рахунок в'язкості перетворюється в теплову. Однак кардинальним чином картина при цьому не зміниться, так як перехід ламінарного руху в турбулентний виникає при великих числах Re> Reкр, які відповідають малої в'язкості. Крім того, відомо [2], що роль дисипації енергії істотна в області мелкомасштабной турбулентності вузького інтервалу масштабів. У великомасштабних ж пульсаціях не відбувається помітної дисипації енергії. У той же час останні є визначальними в процесі формування турбулентності.

У випадках ламінарних течій з малими величинами противодавления можна припустити, що масштаби турбулентних пульсацій лежать в в'язкому інтервалі і виникли обурення швидко зникають за рахунок дисипації. Це пояснює існування таких течій.

Наближений розрахунок двовимірного поля швидкостей ізотермічного стискання досконалого газу в довгій трубі. Зазвичай відносну роль сил інерції і сил в'язкості для течії в трубі характеризують числом Рейнольдса (Re), яке визначають співвідношенням:

Як величин ρ, U, L, μ вибирають деякі характерні значення для розглянутого потоку. Однак в довгій трубі, за винятком порівняно короткого початкового ділянки, реалізується повністю розвинене протягом, на якому сили інерції стають рівними нулю. Цієї обставини величина (26) не враховує.

Введемо локальне число Рейнольдса:

Будемо вважаті, відповідно до (7), твір ρu, що не залежних від z, а μ - постійною величиною, что для ізотермічного процесса и слабкої залежності в'язкості від тиску віявляється справедливості. Розглянемо випадок, коли перепад зовнішнього тиску відсутній. Функцію L (z) виберемо так, щоб при z → ∞, Re (z) → 0. Для цього будемо вимагати, щоб при z → ∞, L (z) → 0. Найпростіша апроксимаційна залежність, що задовольняє цій умові, може бути обрана в такий спосіб:

де d - діаметр каналу.

З (28) слід рівняння для визначення u (r, z):

Рівняння (29) вирішується методом поділу змінних, і рішення має вигляд:

де J0 (x) - функція Бесселя нульового порядку; С - довільна стала. При вирішенні використано умову прилипання на стінці каналу і умова обмеженості швидкості на осі.

Для визначення постійної З застосовно умова, що при z = 0 і r = 0, u = u00. Тоді поле швидкості в трубі визначається виразом:

З (20) можна обчислити поле щільності і поле тиску:

де верхній і нижній індекс 0 означає величину в точці r = 0, z = 0.

З (10) з урахуванням стисливості отримаємо співвідношення, яке визначає локальне зміна ентропії, віднесеної до одиниці об'єму:

З (33) видно, що тиск уздовж z плавно зростає, виходячи на постійну величину. Це зростання тиску обумовлений сжимаемостью газу. Отже, в трубі реалізується ламінарний режим з протитиском. Як випливає з (34), ентропія в цю течію зменшується у всіх його точках, що свідчить про прагнення потоку до турбулізації.

Аналіз виразу (31) показує, що радіальний профіль швидкості в точці r = r *, яка визначається співвідношенням має точку перегину, так як має локальний екстремум. Але в такому випадку, відповідно до теореми Релея-Толмін [5], ламінарний профіль швидкості (31) виявляється нестійким. У точці перегину напруга тертя виявляється максимальним, що може привести до появи тангенціального розриву швидкості в околиці точки r = r *, з подальшою еволюцією цього розриву в турбулентні структури.

Висновки

1. При спробах математичного моделювання процесів турбулізації потоку в довгій трубі необхідно, щонайменше, передбачити розрахунок газодинамічних характеристик у зовнішній області, що примикає до вхідного перетину труби, для задання вхідних умов адекватних реальним.
   Крім того, в процесі рахунку необхідно реалізувати виділення областей, що містять прослизання потоку щодо стінки каналу, тангенціальні розриви швидкості, точки перегину, ділянки локального гальмування і інші особливості перебігу, а також проведення детального аналізу наслідків, що випливають з цих особливостей.
2. Точки переходу течії через локальну ізотермічну швидкість звуку і ділянки потоку, на яких локальна ентропія зменшується, являють собою найбільш ймовірні області генерації турбулентності.
3. Нехтування в'язкістю газу, припущення про його несжимаемости і адіабатічності течії можуть в ряді випадків істотно спотворити результати моделювання процесів турбулізації.

література

1. Волинкіна Т.В., Слободянюк В.С. До питання опису турбулентних потоків в трубі // Укр. Киргизько-Російського Слов'янського університету. - 2002. - Т. 2 - №2. - С. 104-110.

2. Ландау Л.Д., Ліфшиц Е.М. Гідродінаміка. - М .: Наука, 1980. - 535 с.

3. Климонтович Ю.Л. Критерії відносної упорядкованості відкритих систем // УФН. - 1996. Т. 166. - №11. - С. 1231-1243.

4. Богомолов А.М., Михайлов К.А. Гідравліка. - М., 1965. - 633 с.

5. Шлихтинг Г. Виникнення турбулентності. - М .: І.Л., 1962. - 203 с.

6. Ліпманн Г.У. Зліт і падіння ідей в турбулентності // УФН. - 1984. - Т. 143. - Вип. 4. - С. 641-656.

7. Шлихтинг Г. Теорія прикордонного шару. - М .: Наука, 1974. - 711 с.

8. Базаров І.П. Термодинаміка. - М .: Вища школа, 1983. - 344 с.

9. Альбом течій рідини і газу. - М .: Світ, 1986. - 181 с.

10. Лойцянський Л.Г. Механіка рідини і газу. - М .: Наука, 1978. - 756 с.

Назад до змісту випуску