пряма

Загальне рівняння прямої [ правити | правити код ]
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом [ правити | правити код ]
Рівняння прямої у відрізках [ правити | правити код ]
Нормальне рівняння прямої [ правити | правити код ]
Рівняння прямої, що проходить через дві задані незбіжні точки [ правити | правити код ]
Векторне параметричне рівняння прямої [ правити | правити код ]
Параметричні рівняння прямої [ правити | правити код ]
Канонічне рівняння прямої [ правити | правити код ]
Рівняння прямої в полярних координатах [ правити | правити код ]
Тангенціальне рівняння прямої [ правити | правити код ]
Взаємне розташування точок і прямих на площині [ правити | правити код ]
Взаємне розташування декількох прямих на площині [ правити | правити код ]

Пряма - одне з фундаментальних понять геометрії.

При систематичному викладі геометрії пряма лінія звичайно приймається за одне з вихідних понять, яке лише непрямим чином визначається аксіомами геометрії. Згідно наприклад Д. Гільберта ( «точкою можна назвати хоч стілець»), може позначати досить довільні об'єкти, навіть зображення яких буде залежати від обраної аксіоматики і / або моделі геометрії. Наприклад, в моделі Пуанкаре геометрії Лобачевського прямими є півкола.

Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, шлях уздовж якої дорівнює найкоротшій відстані між двома точками.

Аналітично пряма задається рівнянням (в тривимірному просторі - системою рівнянь) першого ступеня.

В сучасної аксіоматиці евклідової геометрії пряма є первинним поняттям , Що задається лише переліком його властивостей - аксіомами .

Загальне рівняння прямої [ правити | правити код ]

Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах :

A x + B y + C = 0, {\ displaystyle Ax + By + C = 0,} $A x + B y + C = 0, {\ displaystyle Ax + By + C = 0,}$

де A, B {\ displaystyle A, B} $де A, B {\ displaystyle A, B} і C {\ displaystyle C} - довільні постійні, причому постійні A {\ displaystyle A} і B {\ displaystyle B} нерівні нулю одночасно$ і C {\ displaystyle C} - довільні постійні, причому постійні A {\ displaystyle A} і B {\ displaystyle B} нерівні нулю одночасно.

При A = 0 {\ displaystyle A = 0} $При A = 0 {\ displaystyle A = 0} пряма паралельна осі O x {\ displaystyle Ox} , При B = 0 {\ displaystyle B = 0} - паралельна осі O y {\ displaystyle Oy}$ пряма паралельна осі O x {\ displaystyle Ox} , При B = 0 {\ displaystyle B = 0} - паралельна осі O y {\ displaystyle Oy} .

вектор з координатами (A, B) {\ displaystyle (A, B)} $вектор з координатами (A, B) {\ displaystyle (A, B)} називається нормальним вектором, він перпендикулярний прямій$ називається нормальним вектором, він перпендикулярний прямій.

При C = 0 {\ displaystyle C = 0} $При C = 0 {\ displaystyle C = 0} пряма проходить через початок координат$ пряма проходить через початок координат .

Також рівняння можна переписати у вигляді

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. {\ displaystyle A (x-x_ {0}) + B (y-y_ {0}) = 0.}

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом [ правити | правити код ]

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь O y {\ displaystyle Oy} $Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь O y {\ displaystyle Oy} в точці (0, b) {\ displaystyle (0, \; b)} і утворює кут φ {\ displaystyle \ varphi} з позитивним напрямком осі O x {\ displaystyle Ox} :$ в точці (0, b) {\ displaystyle (0, \; b)} і утворює кут φ {\ displaystyle \ varphi} з позитивним напрямком осі O x {\ displaystyle Ox} :

y = k x + b, k = t g φ. {\ Displaystyle y = kx + b, \ quad k = \ mathrm {tg} \, \ varphi.}

Коефіцієнт k {\ displaystyle k} $Коефіцієнт k {\ displaystyle k} називається кутовим коефіцієнтом прямий$ називається кутовим коефіцієнтом прямий.

У цьому виді неможливо уявити пряму, паралельну осі O y. {\ Displaystyle Oy.} (Іноді в цьому випадку формально кажуть, що кутовий коефіцієнт «звертається в нескінченність».)

Рівняння прямої у відрізках [ правити | правити код ]

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь O x {\ displaystyle Ox} $Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь O x {\ displaystyle Ox} в точці (a, 0) {\ displaystyle (a, \; 0)} і вісь O y {\ displaystyle Oy} в точці (0, b) {\ displaystyle (0, \; b)} :$ в точці (a, 0) {\ displaystyle (a, \; 0)} і вісь O y {\ displaystyle Oy} в точці (0, b) {\ displaystyle (0, \; b)} :

x a + y b = 1 (a ≠ 0, b ≠ 0). {\ Displaystyle {\ frac {x} {a}} + {\ frac {y} {b}} = 1 \ quad (a \ neq 0, \; b \ neq 0).}

У цьому виді неможливо уявити пряму, що проходить через початок координат.

Нормальне рівняння прямої [ правити | правити код ]

x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ - p = 0, {\ displaystyle x \ cos \ theta + y \ sin \ theta -p = 0,} $x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ - p = 0, {\ displaystyle x \ cos \ theta + y \ sin \ theta -p = 0,}$

де p {\ displaystyle p} $де p {\ displaystyle p} - довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з початку координат, а θ {\ displaystyle \ theta} - кут (виміряний в позитивному напрямку) між позитивним напрямом осі O x {\ displaystyle Ox} і напрямом цього перпендикуляра$ - довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з початку координат, а θ {\ displaystyle \ theta} - кут (виміряний в позитивному напрямку) між позитивним напрямом осі O x {\ displaystyle Ox} і напрямом цього перпендикуляра. Якщо p = 0 {\ displaystyle p = 0} , То пряма проходить через початок координат, а кут θ = φ + π 2 {\ displaystyle \ theta = \ varphi + {\ frac {\ pi} {2}}} задає кут нахилу прямої.

Якщо пряма задана загальним рівнянням A x + B y + C = 0, {\ displaystyle Ax + By + C = 0,} $Якщо пряма задана загальним рівнянням A x + B y + C = 0, {\ displaystyle Ax + By + C = 0,} то відрізки a {\ displaystyle a} і b, {\ displaystyle b,} відсікаються нею на осях, кутовий коефіцієнт k, {\ displaystyle k,} відстань прямої від початку координат p, {\ displaystyle p} cos ⁡ θ {\ displaystyle \ cos \ theta} і sin ⁡ θ {\ displaystyle \ sin \ theta} виражаються через коефіцієнти A {\ displaystyle A} , B {\ displaystyle B} і C {\ displaystyle C} наступним чином:$ то відрізки a {\ displaystyle a} і b, {\ displaystyle b,} відсікаються нею на осях, кутовий коефіцієнт k, {\ displaystyle k,} відстань прямої від початку координат p, {\ displaystyle p} cos ⁡ θ {\ displaystyle \ cos \ theta} і sin ⁡ θ {\ displaystyle \ sin \ theta} виражаються через коефіцієнти A {\ displaystyle A} , B {\ displaystyle B} і C {\ displaystyle C} наступним чином:

a = - CA, b = - CB, k = tg φ = - AB, φ = θ - π 2, {\ displaystyle a = - {\ frac {C} {A}}, \ quad b = - {\ frac {C} {B}}, \ quad k = \ mathrm {tg} \, \ varphi = - {\ frac {A} {B}}, \ quad \ varphi = \ theta - {\ frac {\ pi} { 2}}} $a = - CA, b = - CB, k = tg φ = - AB, φ = θ - π 2, {\ displaystyle a = - {\ frac {C} {A}}, \ quad b = - {\ frac {C} {B}}, \ quad k = \ mathrm {tg} \, \ varphi = - {\ frac {A} {B}}, \ quad \ varphi = \ theta - {\ frac {\ pi} { 2}}} p = C ± A 2 + B 2, cos ⁡ θ = A ± A 2 + B 2, sin ⁡ θ = B ± A 2 + B 2$ p = C ± A 2 + B 2, cos ⁡ θ = A ± A 2 + B 2, sin ⁡ θ = B ± A 2 + B 2. {\ Displaystyle p = {\ frac {C} {\ pm {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}}}}, \ quad \ cos \ theta = {\ frac {A} {\ pm {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}}}}, \ quad \ sin \ theta = {\ frac {B} {\ pm {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2 }}}}}.}

Щоб уникнути невизначеності знак перед радикалом вибирається так, щоб дотримувалася умова p> 0. {\ displaystyle p> 0.} В цьому випадку cos ⁡ θ {\ displaystyle \ cos \ theta} і sin ⁡ θ {\ displaystyle \ sin \ theta} є напрямними косинусами позитивної нормалі прямої - перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму. Якщо C = 0, {\ displaystyle C = 0,} то пряма проходить через початок координат і вибір позитивного напрямку довільний.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані незбіжні точки [ правити | правити код ]

Якщо задані дві незбіжні точки з координатами (x 1, y 1) {\ displaystyle (x_ {1}, \; y_ {1})} $Якщо задані дві незбіжні точки з координатами (x 1, y 1) {\ displaystyle (x_ {1}, \; y_ {1})} і (x 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {2}, \; y_ {2})} , То пряма, що проходить через них, задається рівнянням$ і (x 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {2}, \; y_ {2})} , То пряма, що проходить через них, задається рівнянням

| x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 | = 0 {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x & y & 1 \\ x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \ end {vmatrix}} = 0} $| x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 | = 0 {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x & y & 1 \\ x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \ end {vmatrix}} = 0}$

або

y - y 1 y 2 - y 1 = x - x 1 x 2 - x 1 {\ displaystyle {\ frac {y-y_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}}} = {\ frac { x-x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}} $y - y 1 y 2 - y 1 = x - x 1 x 2 - x 1 {\ displaystyle {\ frac {y-y_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}}} = {\ frac { x-x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$

або в загальному вигляді

(Y 1 - y 2) x + (x 2 - x 1) y + (x 1 y 2 - x 2 y 1) = 0. {\ displaystyle \ left (y_ {1} -y_ {2} \ right) x + \ left (x_ {2} -x_ {1} \ right) y + \ left (x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} \ right) = 0.}

Векторне параметричне рівняння прямої [ правити | правити код ]

Векторне параметричне рівняння прямої задається вектором r → 0, {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0},} $Векторне параметричне рівняння прямої задається вектором r → 0, {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0},} кінець якого лежить на прямій, і тих, що направляють вектором прямої u →$ кінець якого лежить на прямій, і тих, що направляють вектором прямої u →. {\ Displaystyle {\ vec {u}}.} Параметр t {\ displaystyle t} пробігає всі дійсні значення.

r → = r 0 → + t u →. {\ Displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r_ {0}}} + t {\ vec {u}}.}

Параметричні рівняння прямої [ правити | правити код ]

Параметричні рівняння прямої можуть бути записані у вигляді:

{X = x 0 + axt, y = y 0 + ayt, {\ displaystyle {\ begin {cases} x = x_ {0} + a_ {x} t, \\ y = y_ {0} + a_ {y} t, \ end {cases}}} ${X = x 0 + axt, y = y 0 + ayt, {\ displaystyle {\ begin {cases} x = x_ {0} + a_ {x} t, \\ y = y_ {0} + a_ {y} t, \ end {cases}}}$

де t {\ displaystyle t} $де t {\ displaystyle t} - довільний параметр, a x, a y {\ displaystyle a_ {x}, \; a_ {y}} - координати x {\ displaystyle x} і y {\ displaystyle y} направляючого вектора прямої$ - довільний параметр, a x, a y {\ displaystyle a_ {x}, \; a_ {y}} - координати x {\ displaystyle x} і y {\ displaystyle y} направляючого вектора прямої. При цьому

k = ayax, a = ayx 0 - axy 0 ay, b = axy 0 - ayx 0 ax, {\ displaystyle k = {\ frac {a_ {y}} {a_ {x}}}, \ quad a = {\ frac {a_ {y} x_ {0} -a_ {x} y_ {0}} {a_ {y}}}, \ quad b = {\ frac {a_ {x} y_ {0} -a_ {y} x_ {0}} {a_ {x}}}} $k = ayax, a = ayx 0 - axy 0 ay, b = axy 0 - ayx 0 ax, {\ displaystyle k = {\ frac {a_ {y}} {a_ {x}}}, \ quad a = {\ frac {a_ {y} x_ {0} -a_ {x} y_ {0}} {a_ {y}}}, \ quad b = {\ frac {a_ {x} y_ {0} -a_ {y} x_ {0}} {a_ {x}}}} p = a x y 0 - a y x 0 ± a x 2 + a y 2, cos ⁡ θ = a x ± a x 2 + a y 2, sin ⁡ θ = a y ± a x 2 + a y 2$ p = a x y 0 - a y x 0 ± a x 2 + a y 2, cos ⁡ θ = a x ± a x 2 + a y 2, sin ⁡ θ = a y ± a x 2 + a y 2. {\ Displaystyle p = {\ frac {a_ {x} y_ {0} -a_ {y} x_ {0}} {\ pm {\ sqrt {a_ {x} ^ {2} + a_ {y} ^ {2 }}}}}, \ quad \ cos \ theta = {\ frac {a_ {x}} {\ pm {\ sqrt {a_ {x} ^ {2} + a_ {y} ^ {2}}}}} , \ quad \ sin \ theta = {\ frac {a_ {y}} {\ pm {\ sqrt {a_ {x} ^ {2} + a_ {y} ^ {2}}}}}.}

Сенс параметра t {\ displaystyle t} $Сенс параметра t {\ displaystyle t} аналогічний параметру в векторно-параметричної рівнянні$ аналогічний параметру в векторно-параметричної рівнянні.

Канонічне рівняння прямої [ правити | правити код ]

Канонічне рівняння виходить з параметріческіx рівнянь діленням одного рівняння на інше:

x - x 0 y - y 0 = axay ⟺ x - x 0 ax = y - y 0 ay {\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {y-y_ {0}}} = {\ frac { a_ {x}} {a_ {y}}} \ Longleftrightarrow {\ frac {x-x_ {0}} {a_ {x}}} = {\ frac {y-y_ {0}} {a_ {y}} }} $x - x 0 y - y 0 = axay ⟺ x - x 0 ax = y - y 0 ay {\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {y-y_ {0}}} = {\ frac { a_ {x}} {a_ {y}}} \ Longleftrightarrow {\ frac {x-x_ {0}} {a_ {x}}} = {\ frac {y-y_ {0}} {a_ {y}} }}$

де a x, a y {\ displaystyle a_ {x}, a_ {y}} $де a x, a y {\ displaystyle a_ {x}, a_ {y}} - координати x {\ displaystyle x} і y {\ displaystyle y} направляючого вектора прямої, x 0 {\ displaystyle x_ {0}} і y 0 {\ displaystyle y_ {0}} координати точки, що належить прямій$ - координати x {\ displaystyle x} і y {\ displaystyle y} направляючого вектора прямої, x 0 {\ displaystyle x_ {0}} і y 0 {\ displaystyle y_ {0}} координати точки, що належить прямій.

Рівняння прямої в полярних координатах [ правити | правити код ]

Рівняння прямої в полярних координатах ρ {\ displaystyle \ rho} $Рівняння прямої в полярних координатах ρ {\ displaystyle \ rho} і φ {\ displaystyle \ varphi} :$ і φ {\ displaystyle \ varphi} :

ρ (A cos ⁡ φ + B sin ⁡ φ) + C = 0 {\ displaystyle \ rho (A \ cos \ varphi + B \ sin \ varphi) + C = 0} $ρ (A cos ⁡ φ + B sin ⁡ φ) + C = 0 {\ displaystyle \ rho (A \ cos \ varphi + B \ sin \ varphi) + C = 0}$

або

ρ cos ⁡ (φ - θ) = p. {\ Displaystyle \ rho \ cos (\ varphi - \ theta) = p.}

Тангенціальне рівняння прямої [ правити | правити код ]

Тангенціальне рівняння прямої на площині:

ξ x + η y = 1. {\ displaystyle \ xi x + \ eta y = 1.}

Числа ξ {\ displaystyle \ xi} $Числа ξ {\ displaystyle \ xi} і η {\ displaystyle \ eta} називаються її тангенціальними, лінійними або плюккеровимі координатами$ і η {\ displaystyle \ eta} називаються її тангенціальними, лінійними або плюккеровимі координатами.

Векторне параметричне рівняння прямої в просторі:

r → = r → 0 + ta →, t ∈ (- ∞, + ∞), {\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {0} + t {\ vec {a} }, \ quad t \ in (- \ infty, \; + \ infty),} $r → = r → 0 + ta →, t ∈ (- ∞, + ∞), {\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {0} + t {\ vec {a} }, \ quad t \ in (- \ infty, \; + \ infty),}$

де r → 0 {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0}} $де r → 0 {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0}} - радіус-вектор деякої фіксованої точки M 0, {\ displaystyle M_ {0},} лежить на прямій, a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} - ненульовий вектор , колінеарний цієї прямої (званий її направляють вектором), r → {\ displaystyle {\ vec {r}}} - радіус-вектор довільної точки прямої$ - радіус-вектор деякої фіксованої точки M 0, {\ displaystyle M_ {0},} лежить на прямій, a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} - ненульовий вектор , колінеарний цієї прямої (званий її направляють вектором), r → {\ displaystyle {\ vec {r}}} - радіус-вектор довільної точки прямої.

Параметричні рівняння прямої в просторі:

x = x 0 + t α, y = y 0 + t β, z = z 0 + t γ, t ∈ (- ∞, + ∞), {\ displaystyle x = x_ {0} + t \ alpha, \; y = y_ {0} + t \ beta, \; z = z_ {0} + t \ gamma, \ quad t \ in (- \ infty, \; + \ infty),} $x = x 0 + t α, y = y 0 + t β, z = z 0 + t γ, t ∈ (- ∞, + ∞), {\ displaystyle x = x_ {0} + t \ alpha, \; y = y_ {0} + t \ beta, \; z = z_ {0} + t \ gamma, \ quad t \ in (- \ infty, \; + \ infty),}$

де (x 0, y 0, z 0) {\ displaystyle (x_ {0}, \; y_ {0}, \; z_ {0})} $де (x 0, y 0, z 0) {\ displaystyle (x_ {0}, \; y_ {0}, \; z_ {0})} - координати деякої фіксованої точки M 0, {\ displaystyle M_ {0},} лежить на прямій; (Α, β, γ) {\ displaystyle (\ alpha, \; \ beta, \; \ gamma)} - координати вектора , колінеарну цієї прямої$ - координати деякої фіксованої точки M 0, {\ displaystyle M_ {0},} лежить на прямій; (Α, β, γ) {\ displaystyle (\ alpha, \; \ beta, \; \ gamma)} - координати вектора , колінеарну цієї прямої.

Канонічне рівняння прямої в просторі:

x - x 0 α = y - y 0 β = z - z 0 γ, {\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ alpha}} = {\ frac {y-y_ {0}} { \ beta}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ gamma}},} $x - x 0 α = y - y 0 β = z - z 0 γ, {\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ alpha}} = {\ frac {y-y_ {0}} { \ beta}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ gamma}},}$

Загальна векторне рівняння прямої [ уточнити ] в просторі:

Оскільки пряма є перетином двох різних площин , Заданих відповідно загальними рівняннями : (R →, N → 1) + D 1 = 0 {\ displaystyle ({\ vec {r}}, \; {\ vec {N}} _ {1}) + D_ {1} = 0} $Оскільки пряма є перетином двох різних площин , Заданих відповідно загальними рівняннями : (R →, N → 1) + D 1 = 0 {\ displaystyle ({\ vec {r}}, \; {\ vec {N}} _ {1}) + D_ {1} = 0} і (r →, N → 2) + D 2 = 0, {\ displaystyle ({\ vec {r}}, \; {\ vec {N}} _ {2}) + D_ {2} = 0,}$ і (r →, N → 2) + D 2 = 0, {\ displaystyle ({\ vec {r}}, \; {\ vec {N}} _ {2}) + D_ {2} = 0,}

то рівняння прямої можна задати системою цих рівнянь:

{(R →, N → 1) + D 1 = 0, (r →, N → 2) + D 2 = 0. {\ displaystyle {\ begin {cases} ({\ vec {r}}, \; { \ vec {N}} _ {1}) + D_ {1} = 0, \\ ({\ vec {r}}, \; {\ vec {N}} _ {2}) + D_ {2} = 0. \ end {cases}}}

Векторне рівняння прямої в просторі [1] : 196-199:

Рівняння прямої в просторі можна записати у вигляді векторного твори радіуса-вектора довільної точки цієї прямої r → {\ displaystyle {\ vec {r}}} $Рівняння прямої в просторі можна записати у вигляді векторного твори радіуса-вектора довільної точки цієї прямої r → {\ displaystyle {\ vec {r}}} на фіксований спрямовує вектор прямої a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} : [R →, a →] = M →, {\ displaystyle [{\ vec {r}}, {\ vec {a}}] = {\ vec {M}},}$ на фіксований спрямовує вектор прямої a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} : [R →, a →] = M →, {\ displaystyle [{\ vec {r}}, {\ vec {a}}] = {\ vec {M}},}

де фіксований вектор M → {\ displaystyle {\ vec {M}}} $де фіксований вектор M → {\ displaystyle {\ vec {M}}} , Ортогональний вектору a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} , Можна знайти, підставляючи в це рівняння радіус-вектор якої-небудь однієї відомої точки прямої$ , Ортогональний вектору a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} , Можна знайти, підставляючи в це рівняння радіус-вектор якої-небудь однієї відомої точки прямої.

Взаємне розташування точок і прямих на площині [ правити | правити код ]

Три точки (x 1, y 1) {\ displaystyle (x_ {1}, \; y_ {1})} $Три точки (x 1, y 1) {\ displaystyle (x_ {1}, \; y_ {1})} , (X 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {2}, \; y_ {2})} і (x 3, y 3) {\ displaystyle (x_ {3}, \; y_ {3})} лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли виконується умова$ , (X 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {2}, \; y_ {2})} і (x 3, y 3) {\ displaystyle (x_ {3}, \; y_ {3})} лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли виконується умова

| x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | = 0. {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \\ x_ {3} & y_ {3} & 1 \ end {vmatrix}} = 0.} | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | = 0

Відхилення точки (x 1, y 1) {\ displaystyle (x_ {1}, \; y_ {1})} $Відхилення точки (x 1, y 1) {\ displaystyle (x_ {1}, \; y_ {1})} від прямої A x + B y + C = 0 {\ displaystyle Ax + By + C = 0} може бути знайдено за формулою$ від прямої A x + B y + C = 0 {\ displaystyle Ax + By + C = 0} може бути знайдено за формулою

δ = A x 1 + B y 1 + C ± A 2 + B 2, {\ displaystyle \ delta = {\ frac {Ax_ {1} + By_ {1} + C} {\ pm {\ sqrt {A ^ { 2} + B ^ {2}}}}}} $δ = A x 1 + B y 1 + C ± A 2 + B 2, {\ displaystyle \ delta = {\ frac {Ax_ {1} + By_ {1} + C} {\ pm {\ sqrt {A ^ { 2} + B ^ {2}}}}}}$

де знак перед радикалом протилежний знаку C. {\ Displaystyle C.} Відхилення по модулю дорівнює відстані між точкою і прямою; воно позитивно, якщо точка і початок координат лежать по різні боки від прямої, і негативно, якщо по одну сторону.

У просторі відстань від точки (x 1, y 1, z 1) {\ displaystyle (x_ {1}, \; y_ {1}, \; z_ {1})} $У просторі відстань від точки (x 1, y 1, z 1) {\ displaystyle (x_ {1}, \; y_ {1}, \; z_ {1})} до прямої, заданої параметричним рівнянням$ до прямої, заданої параметричним рівнянням

{X = x 0 + t α, y = y 0 + t β, t ∈ R z = z 0 + t γ, {\ displaystyle {\ begin {cases} x = x_ {0} + t \ alpha, \\ y = y_ {0} + t \ beta, \ quad t \ in \ mathbb {R} \\ z = z_ {0} + t \ gamma, \ end {cases}}} ${X = x 0 + t α, y = y 0 + t β, t ∈ R z = z 0 + t γ, {\ displaystyle {\ begin {cases} x = x_ {0} + t \ alpha, \\ y = y_ {0} + t \ beta, \ quad t \ in \ mathbb {R} \\ z = z_ {0} + t \ gamma, \ end {cases}}}$

можна знайти як мінімальна відстань від заданої точки до довільної точки прямої. Коефіцієнт t {\ displaystyle t} цієї точки може бути знайдений за формулою

t min = α (x 1 - x 0) + β (y 1 - y 0) + γ (z 1 - z 0) α 2 + β 2 + γ 2. {\ Displaystyle t _ {\ min} = {\ frac {\ alpha (x_ {1} -x_ {0}) + \ beta (y_ {1} -y_ {0}) + \ gamma (z_ {1} -z_ {0})} {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2}}}.}

Взаємне розташування декількох прямих на площині [ правити | правити код ]

Дві прямі, задані рівняннями

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 {\ displaystyle A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} = 0, \ quad A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} = 0} $A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 {\ displaystyle A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} = 0, \ quad A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} = 0}$

або

y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 {\ displaystyle y = k_ {1} x + b_ {1}, \ quad y = k_ {2} x + b_ {2}} $y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 {\ displaystyle y = k_ {1} x + b_ {1}, \ quad y = k_ {2} x + b_ {2}}$

перетинаються в точці

x = B 1 C 2 - B 2 C 1 A 1 B 2 - A 2 B 1 = b 1 - b 2 k 2 - k 1, y = C 1 A 2 - C 2 A 1 A 1 B 2 - A 2 B 1 = k 2 b 1 - k 1 b 2 k 2 - k 1. {\ Displaystyle x = {\ frac {B_ {1} C_ {2} -B_ {2} C_ {1}} {A_ {1} B_ {2} -A_ {2} B_ {1}}} = {\ frac {b_ {1} -b_ {2}} {k_ {2} -k_ {1}}}, \ quad y = {\ frac {C_ {1} A_ {2} -C_ {2} A_ {1} } {A_ {1} B_ {2} -A_ {2} B_ {1}}} = {\ frac {k_ {2} b_ {1} -k_ {1} b_ {2}} {k_ {2} - k_ {1}}}.} x = B 1 C 2 - B 2 C 1 A 1 B 2 - A 2 B 1 = b 1 - b 2 k 2 - k 1, y = C 1 A 2 - C 2 A 1 A 1 B 2 - A 2 B 1 = k 2 b 1 - k 1 b 2 k 2 - k 1

Кут γ 12 {\ displaystyle \ gamma _ {12}} $Кут γ 12 {\ displaystyle \ gamma _ {12}} між пересічними прямими визначається формулою$ між пересічними прямими визначається формулою

t g γ 12 = A 1 B 2 - A 2 B 1 A 1 A 2 + B 1 B 2 = k 2 - k 1 1 + k 1 k 2. {\ Displaystyle \ mathrm {tg} \, \ gamma _ {12} = {\ frac {A_ {1} B_ {2} -A_ {2} B_ {1}} {A_ {1} A_ {2} + B_ {1} B_ {2}}} = {\ frac {k_ {2} -k_ {1}} {1 + k_ {1} k_ {2}}}.}

При цьому під γ 12 {\ displaystyle \ gamma _ {12}} $При цьому під γ 12 {\ displaystyle \ gamma _ {12}} розуміється кут, на який треба повернути першу пряму (задану параметрами A 1 {\ displaystyle A_ {1}} , B 1 {\ displaystyle B_ {1}} , C 1 {\ displaystyle C_ {1}} , K 1 {\ displaystyle k_ {1}} і b 1 {\ displaystyle b_ {1}} ) Навколо точки перетину проти годинникової стрілки до першого суміщення з другої прямої$ розуміється кут, на який треба повернути першу пряму (задану параметрами A 1 {\ displaystyle A_ {1}} , B 1 {\ displaystyle B_ {1}} , C 1 {\ displaystyle C_ {1}} , K 1 {\ displaystyle k_ {1}} і b 1 {\ displaystyle b_ {1}} ) Навколо точки перетину проти годинникової стрілки до першого суміщення з другої прямої.

ці прямі паралельні , Якщо A 1 B 2 - A 2 B 1 = 0 {\ displaystyle A_ {1} B_ {2} -A_ {2} B_ {1} = 0} $ці прямі паралельні , Якщо A 1 B 2 - A 2 B 1 = 0 {\ displaystyle A_ {1} B_ {2} -A_ {2} B_ {1} = 0} або k 1 = k 2 {\ displaystyle k_ {1} = k_ {2}} , і перпендикулярні , Якщо A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 {\ displaystyle A_ {1} A_ {2} + B_ {1} B_ {2} = 0} або k 1 = - 1 k 2 {\ displaystyle k_ {1} = - {\ frac {1} {k_ {2}}}}$ або k 1 = k 2 {\ displaystyle k_ {1} = k_ {2}} , і перпендикулярні , Якщо A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 {\ displaystyle A_ {1} A_ {2} + B_ {1} B_ {2} = 0} або k 1 = - 1 k 2 {\ displaystyle k_ {1} = - {\ frac {1} {k_ {2}}}} .

Будь-яку пряму, паралельну прямій з рівнянням A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, {\ displaystyle A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} = 0,} $Будь-яку пряму, паралельну прямій з рівнянням A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, {\ displaystyle A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} = 0,} можна виразити рівнянням A 1 x + B 1 y + C = 0$ можна виразити рівнянням A 1 x + B 1 y + C = 0. {\ displaystyle A_ {1} x + B_ {1} y + C = 0.} При цьому відстань між цими прямими дорівнюватиме

δ = C 1 - C ± A 1 2 + B 1 2, {\ Displaystyle \ delta = {\ frac {C_ {1} -C} {\ pm {\ sqrt {A_ {1} ^ {2} + B_ {1} ^ {2}}}}};} $δ = C 1 - C ± A 1 2 + B 1 2, {\ Displaystyle \ delta = {\ frac {C_ {1} -C} {\ pm {\ sqrt {A_ {1} ^ {2} + B_ {1} ^ {2}}}}};}$

Якщо ж рівняння прямої задано як y 1 = k x 1 + b 1 {\ displaystyle y_ {1} = kx_ {1} + b_ {1}} $Якщо ж рівняння прямої задано як y 1 = k x 1 + b 1 {\ displaystyle y_ {1} = kx_ {1} + b_ {1}} , А рівняння прямої паралельної їй y = k x + b {\ displaystyle y = kx + b} , То відстань можна обчислити, як$ , А рівняння прямої паралельної їй y = k x + b {\ displaystyle y = kx + b} , То відстань можна обчислити, як

δ = | b 1 - b | 1 + k 2. {\ Displaystyle \ delta = {\ frac {| b_ {1} -b |} {\ sqrt {1 + k ^ {2}}}}.} δ = | b 1 - b | 1 + k 2

Якщо знак перед радикалом протилежний C 1, {\ displaystyle C_ {1},} $Якщо знак перед радикалом протилежний C 1, {\ displaystyle C_ {1},} то δ {\ displaystyle \ delta} буде позитивним, коли друга пряма і початок координат лежать по різні боки від першої прямої$ то δ {\ displaystyle \ delta} буде позитивним, коли друга пряма і початок координат лежать по різні боки від першої прямої.

Для того, щоб три прямі

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 {\ displaystyle A_ {1} x + B_ {1 } y + C_ {1} = 0, \ quad A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} = 0, \ quad A_ {3} x + B_ {3} y + C_ {3} = 0} $A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 {\ displaystyle A_ {1} x + B_ {1 } y + C_ {1} = 0, \ quad A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} = 0, \ quad A_ {3} x + B_ {3} y + C_ {3} = 0}$

перетиналися в одній точці або були паралельні один одному, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова

| A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 C 3 | = 0. {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} A_ {1} & B_ {1} & C_ {1} \\ A_ {2} & B_ {2} & C_ {2} \\ A_ {3} & B_ {3} & C_ { 3} \ end {vmatrix}} = 0.} | A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 C 3 | = 0

Якщо A 2 = - B 1 {\ displaystyle A_ {2} = - B_ {1}} $Якщо A 2 = - B 1 {\ displaystyle A_ {2} = - B_ {1}} і B 2 = A 1 {\ displaystyle B_ {2} = A_ {1}} , То прямі A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 {\ displaystyle A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} = 0} і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 {\ displaystyle A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} = 0} перпендикулярні$ і B 2 = A 1 {\ displaystyle B_ {2} = A_ {1}} , То прямі A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 {\ displaystyle A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} = 0} і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 {\ displaystyle A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} = 0} перпендикулярні .