Застосування аналізу і синтезу при вирішенні геометричних задач

розділи: Математика

"Все наше достоїнство укладено в думки. Чи не простір і не час, яких ми не можемо заповнити, підносять нас, а саме вона, наша думка. Будемо ж вчитися добре мислити" (Блез Паскаль).

Коли голодний і обірваний чоловік попросив рибалки нагодувати його, рибалка міг би нагодувати, але в цьому випадку він би втамував голод людини один раз. Рибак взяв людини з собою на риболовлю і навчив бути ситим все життя.

У навчанні вмінню вирішувати завдання у нас відбувається зворотне. Найбільш поширений метод навчання рішенню завдань заснований на принципі "роби як я". Історично склалася така методика, коли вчитель демонструє на прикладах способи вирішення так званих типових задач, а учні за зразком вирішують аналогічні. Все навчання направлено на вироблення практичних навичок виконання типових видів завдань і вправ. Відбувається просте натаскування, як рибалка нагодував би голодної людини один раз.

Якщо випускник школи скоро забуде способи вирішення численних видів математичних, фізичних, хімічних та інших шкільних завдань, то це не дуже велика біда. Але якщо у нього не вироблено загального розумного підходу до будь-якої життєвої, технічної або наукової задачі, якщо він не опанував здатністю до правильного раціонального пошуку способу вирішення таких завдань, то ось це велика біда. Саме це є однією з причин, що випускники наших шкіл неефективно працюють, що відбивається на нашій економіці і життя. Адже робота в будь-якій області, повсякденне життя людини складається з послідовної постановки і вирішення найрізноманітніших завдань, а тому школа повинна навчити їх раціонально вирішувати ці завдання.

Таким чином, провідним системоутворюючим фактором в навчанні виступає, перш за все технологія навчання. Дослідники підкреслюють примат методу над предметом вивчення, вважаючи, що для розвитку мислення важливо не стільки те, чого навчають, скільки те, як вчать. Адже навчання математики зводиться не стільки до запам'ятовування теорем, їх доведення, скільки до оволодіння методами пізнання. Суттєвою характеристикою навчальної завдання є оволодіння узагальненим способом розв'язання конкретно-практичних завдань. Поставити перед школярами навчальне завдання - значить ввести їх в ситуацію, що вимагає орієнтації на загальний спосіб її вирішення.

Н.І. Лобачевський відзначав: "В математиці найважливіше спосіб викладання". Роль вчителя повинна полягати в озброєнні учнів технологією діяльності та відповідними способами роботи. Якщо довго вирішувати завдання одного типу, уявлення учнів перебувають у фазі необобщённих елементарних знань, при вирішенні загальними методом в поле зору учня знаходяться зв'язку між різними поняттями, а це є головна умова оформлення знань. При окремому вивченні різних типів завдань час витрачається більше. Цілеспрямоване навчання прийомам розумової діяльності анітрохи не уповільнює засвоєння програмного матеріалу. Навпаки, цей процес все більше і більше прискорюється у міру оволодіння цими прийомами, тобто у міру розвитку мислення учнів.

Ще великий французький математик і філософ Рене Декарт (1596-1650) свого часу мав наміри розробити універсальний метод вирішення завдань. Однак його "Правила для направлення розуму" залишилися незавершеними. "Коли мені доводилося, будучи молодою людиною, чути про будь-яких вправних умовиводах, я намагався відтворити їх самостійно, не читаючи автора. Поступово я став помічати, що користуюся при цьому певними правилами", - писав він. Гальперін П.Я. відзначав, що на розвиток учнів впливає певний тип навчання, який "характеризується засвоєнням, перш за все загального методу аналізу явищ, що вивчається".

Рішення будь-якої математичної задачі складається з окремих кроків. Вирішити задачку - значить знайти таку послідовність загальних положень математики (визначень, аксіом, теорем, правил, законів, властивостей, формул), застосовуючи які до умов завдання або до їх наслідків (проміжні результати рішення), отримуємо те, що потрібно знайти в задачі - відповідь. Доведення - теж ланцюжок логічних наслідків з аксіом, визначень, раніше доведених теорем до необхідного висновку. Таким чином, при доказі теорем ми зводимо її до раніше доведеним теорем, а ті в свою чергу ще до інших. Кожен крок докази складається з трьох частин:

1 - пропозиція, на основі якого проводиться цей крок докази (аксіоми, визначення, теореми);

2 - логічне міркування на основі аксіом, визначень, раніше доведених теорем;

3 - логічний висновок з цього міркування.

Таким чином, будь-яке завдання елементарної геометрії є, по суті теоремою, а її рішення - доказом, скромною математичної перемогою.

Формувати культуру вирішення завдань і доведення теорем можна через побудову загальної схематичною моделі рішення, тобто алгоритму. "Найважче в рішенні будь-якої задачі - планування своїх дій. Якщо є алгоритм, значить, є програма дій, а тому труднощі носять найчастіше технічний, а не принципового характеру", - писав А.Мордковіч.

Алгоритм - це система операцій, що застосовується по строго певною схемою, правилам, яка після послідовного їх виконання приводить до вирішення поставленого завдання.

Ми недооцінюємо здібності дітей до прогнозування, складання моделей діяльності, планування. А вони виявляються в ранньому віці: трьох-чотирирічні діти планують свої ігри без дорослих. А в школі ці здібності не розвиваються - за них все вирішують вчителя і дорослі. Необхідно вчити дітей виділяти головні моменти в своїх діях; намічати послідовність виконання роботи; вибирати способи і прийоми, якими раціональніше користуватися.

Алгоритм необхідно складати разом з учнями. І хоча час витрачається більше, це виправдовується вищим розвивають ефектом. Розвивається розумова діяльність учнів через напругу розумових сил, здатності їх до прогнозування. Школярі вчаться самостійно продумувати і складати план діяльності, переносити його на новий матеріал, удосконалювати. Ведений вчителем учень стає провідним на уроці.

Алгоритм аналізу умови і рішення задачі ми з учнями склали у вигляді пам'ятки:

1. Прочитати завдання.
2. Виділити умова і питання.
3. Зробити за умовою креслення.
4. Відзначити на кресленні дані і шукані величини. Проаналізувати дані, виявити зв'язки між ними і всі можливі розташування фігур.
5. Подумати, що треба знати, щоб відповісти на питання завдання. Записати формулу для шуканої величини (формула може бути виведена з теореми, з умови задачі, з трикутника на кресленні, з приватних методів вирішення елементарних завдань).
6. Невідомі величини в цій формулі підкреслити.
7. Записати вирази (формули) для знаходження цих підкреслених величин (або виведені з теорем, або з умови задачі, або з трикутника на кресленні, або з приватних методів вирішення елементарних завдань).
8. А тепер можна відповісти на питання завдання? (Дії з контролю). Продовжувати до тих пір, поки можна буде відповісти на питання завдання.
9. Підставити знайдені підкреслені величини в формулу для шуканої величини. Обчислити.
10. Записати відповідь.

Пошук і конструювання методів рішення виробляє дисципліноване мислення в процесі рішення, прищеплює естетичний погляд на вирішення завдання, передбачає оцінку рішення не тільки з точки зору її бездоганною логічної правильності, а й краси і вишуканості.

До тих пір, поки будь-якої приватний факт не співвіднесений із загальною структурою, він швидко забувається, тобто знання загальної структури сприяє збереженню матеріалу в пам'яті. А. В. Гончаров писав, що перевантаження пам'яті учнів викликається відсутністю узагальнюючих ліній і надмірної роздробленістю змісту. Замість бездумного рішення великої кількості завдань корисніше вирішувати менше, але при цьому саме рішення повинно містити глибоке вивчення цих завдань, сутності їх вирішення, виявлення загальних методів і прийомів, використовуваних в цьому рішенні.

Відповідаючи на питання пам'ятки при вирішенні завдань, учні склали алгоритм рішення геометричній завдання у вигляді блок схеми (Додаток 1).

Основним змістом цього етапу стало моделювання. Діяльність учнів має теоретичний, дослідницький характер, набуває досвід творчого мислення.

Даний алгоритм склали не відразу, в кілька етапів. Спочатку більш простий, а з появою завдань іншого змісту доповнювали його. Дітям необхідно зрозуміти, що будь-яка справа в житті вдосконалюється.

Самостійне складання алгоритму учнями розвиває:

• здатність до формалізації математичного матеріалу (відділення форми від змісту), абстрагування конкретних кількісних відносин;
• здатність узагальнювати математичний матеріал, виокремлювати головне, відволікаючись від несуттєвого;
• здатність до оперування числовою і знаковою символікою;
• здатність до послідовного, правильно розчленованому логічного міркування;
• здатність скорочувати процес міркування, мислити згорнутими структурами;
• здатність до перемикання від однієї розумової операції до іншої (гнучкість мислення);
• здатність до просторових уявлень;
• розвиває усну і письмову мову.

Сприйняття об'єктів полегшується, якщо вони розташовані в певній строго продуманій системі, що вимагає мінімальних зусиль з боку наших органів почуттів. Сприйняття об'єктів, розташованих хаотично, здійснюється неохоче і вимагає значних вольових зусиль. Оформляти запис рішення завдання також цікаво. І не так це просто - вибрати найбільш зручний спосіб оформлення рішення. Сам вибір зручного способу оформлення рішення є цікавим завданням. Часто процес вирішення завдання залежить від вдало обраного способу запису рішення.

В алгоритмі використовувався аналітичний спосіб вирішення завдань. Аналіз може виступати в двох формах:

1. Коли в міркуваннях рухаються від шуканих до даних завдання;
2. Коли ціле розчленовують на частини.

Приклад аналітичного оформлення рішення задачі (Додаток 2) .

Синтез теж може виступати в двох формах:

1. Коли в міркуваннях рухаються від даних завдання до шуканого;
2. Коли елементи об'єднують в ціле.

Приклад синтетичного оформлення рішення задачі (Додаток 3).

Аналітично-синтетичний метод існує у вигляді висхідного і низхідного аналізу. Спадний аналіз застосовується рідше. У нашому випадку його можна застосувати на окремому кроці рішення складного завдання. Це аналіз в формі міркування від шуканого до даних.

Загальна схема низхідного аналізу Додаткові вказівки Нехай потрібно довести деяке твердження А. Припускаємо, що воно вірне і намагаємося отримати з нього вірне слідство. При цьому можливо кілька випадків:

1 - Отримано невірне слідство. Значить припущення про справедливість А помилково. Рішення завдання закінчено

2 - Отримано вірне слідство. В цьому випадку слід обов'язково перевірити оборотність міркування:

• якщо все міркування оборотні, то А вірно;
• якщо серед міркувань є незворотні, то доводиться застосовувати інші методи пошуку рішення задачі

3 - Якщо вірне наслідок отримати не вдається, то також доводиться перейти до інших методів

1. Зменшити кількість параметрів.

2. Спростити вирази.

3. Використовувати всі ці завдання.

Можна, змінивши умова, сформулювати і довести відповідне вірне твердження, тобто вирішити інше завдання.

Така перевірка обов'язкова, тому що з невірного твердження теж можна отримати вірне наслідок

Приклади необоротних міркувань:

Приклад вирішення завдань низхідним аналізом (Додаток 4).

Основний спосіб вирішення завдань - висхідний аналіз.

Нехай потрібно довести твердження А. Підбираємо таке твердження В, з якого випливає А; потім шукаємо твердження С, з якого випливає В; ... до тих пір, поки знайдемо шлях вирішення.

Аналітично-синтетичний метод - метод поперемінного руху з двох сторін:

1. спочатку розгортається висновок завдання (шукана величина);
2. потім розвертається умову задачі;
3. отримання ланцюжка висновків від умови і висновку.

Основним способом він є тому, що розбір і рішення задач висхідним аналізом проводять ще в початкових класах при вирішенні складових завдань (3-4-ті класи).

Приклад докази висхідним аналізом (Додаток 5) .

Особливості методу:

• не вимагається оборотності міркувань (тільки при доказі, при вирішенні задач оборотність має місце), тому що можливість зворотного переходу перевіряється на кожному кроці пошуку рішення;
• учні повинні добре засвоїти фразу: "Щоб довести ... досить довести ...". Термін "досить" підходить більше, ніж "треба", оскільки можна підібрати кілька різних тверджень, для кожного з яких шукане є наслідком;
• в загальній схемі висхідного аналізу не роз'яснюється, як отримати твердження, з якого випливає шукане, таке твердження підшукується, виходячи з конкретних умов завдань.

"У пошуку рішення важливу роль відіграє відбір потрібних висновків з умови і достатніх по відношенню до висновку сукупностей властивостей. Це творчий процес, навчити цьому неможливо, залишається" вчити плавати, кидаючи в воду ". (М. Волович).

Робота над більш коротким, раціональним оформленням завдання триває. Така форма запису незручна тим, що заповнює всю площу аркуша. Але повне розгорнуте рішення необхідно для формування вміння розв'язувати задачі. Прийом розбиття рішення на кроки полегшує засвоєння способу розв'язання. Шохор-Троцький С.І. в книзі по методиці арифметики вказував, що згортання процесу міркування залежить від натренованості в рішенні задач. На перших етапах оволодіння завданням вона виконувалася за допомогою розгорнутого процесу, на пізніх - скороченого. Але для здібних учнів ця умова не є обов'язковим. Здатних відрізняє яскраво виражена тенденція до швидкого і радикального згортання процесу міркування і відповідних математичних дій. Сприйняття математичних задач здатними набуває згорнутий вигляд. Аналітично-синтетична орієнтовна діяльність здатних настільки "згорнута" і максимально обмежена в часі, що в деяких випадках створюється враження - вона має характер одноактного одномоментного бачення математичного матеріалу. Здатні при сприйнятті завдань відразу бачать її "скелет", очищений від всіх конкретних значень. У них спостерігається узагальнене формалізоване сприйняття математичного матеріалу (швидке схоплювання формальної структури задачі), коли числові дані, конкретний зміст "випадає" і залишаються чисті співвідношення між показниками, які характеризують приналежність завдання до певного типу.

Видно, що загальна блок-схема зберігається і при аналітико-синтетичному методі рішення задачі (Додаток 6) .

І Гальперін П.Я. відзначав, що розумові операції можна цілеспрямовано формувати шляхом поступового переходу від розгорнутих зовнішніх дій, заздалегідь запрограмованих і виконуваних в заданій послідовності, до все більш згорнутим розумовою діям.

Згортання починається після того, як учень узагальнить спосіб вирішення. Узагальнення і згортання відбувається по різному у дітей, що відрізняються своїми здібностями. У здатних узагальнення настає відразу, "з місця". Середні узагальнюють після багаторазових вправ. Нездатні узагальнюють з великими труднощами і після тривалого вирішення однотипних завдань.

Скорочена, узагальнена форма запису рішення задачі зберігає інформацію, не завантажуючи мозок надлишковою інформацією і дозволяє довше і легше використовувати її.

Приклади 1 і 2 в Додатку 7.

Скорочена форма запису рішення.

Далі корисно познайомити учнів з аналітико-синтетичним способом вирішення завдань. Насправді цей спосіб приховано присутній в нашому методі, але тепер він повинен придбати теоретичне обгрунтування.

До 7-8-го класу в психіці учнів вже переважає аналіз.

"Аналіз рішення експериментальних завдань учнями показав, що учням властива аналітико-синтетична обробка математичного матеріалу, що носить характер аналітико-синтетичного осмислення матеріалу", - писав В. А. Крутецкий, [2].

Уже знайдене відоме вирішенню завдання зазвічай вікладають синтетичне методом, а щоб найти способ вирішенню, корістуються аналізом. Синтез дозволяє викластись відоме вирішенню завдання Швидко і чітко. Однако учневі Важко зрозуміті, Як було знайдено решение, як бі ВІН сам МІГ здогадатіся вірішіті завдання. Аналіз вимагає більших витрат навчального часу, але зате дозволяє показати учневі, як знайти рішення, як можна самому здогадатися її вирішити. Якщо використовувати систематично аналіз, в учнів формуються навички пошуку вирішення завдань. Аналіз в чистому вигляді взагалі не застосовується. Якщо учень користувався ним при пошуку рішення задачі, то тільки до тих пір, поки в його свідомості не виникне ідея рішення. При вирішенні завдань синтезом в свідомості людини проводиться і аналіз, але часто настільки швидко, підсвідомо, що йому здається, ніби він відразу побачив рішення, не вдаючись до аналізу. Чим складнішою є задача, тим в більш виразною формі він зможе простежити елементи аналізу в своїх міркуваннях.

Аналіз і синтез відповідають психічним процесам дедукції і індукції.

• Індукція - форма умовиводу від одиничних фактів до загальних положень.
• Дедукція - висновок від загального до конкретного.

Індукція і дедукція - різна послідовність в часі аналізу і синтезу. При індуктивному обробці інформації аналіз передує синтезу, при дедуктивної - синтез-аналізу. Інтеграційна аналітико-синтетична діяльність властива обох півкулях мозку, але в кожному вона характеризується специфічною послідовністю аналізу і синтезу. Індукція переважно пов'язана з функціонуванням лівої півкулі, а дедукція - правого. Обробка йде паралельно-послідовно по двох каналах, що забезпечує її швидкість і надійність. Таким чином більш-менш стабільно встановлюється міжпівкульна асиметрія. Обидва півкулі працюють тепер головним чином паралельно, постійно обмінюючись інформацією. Ліва півкуля при цьому як би володіє законодавчою владою, а праве - виконавчої. Ліве виробляє цілі, а праве реалізує їх досягнення.

Можна сподіватися, що приблизно однакову застосування індуктивних і дедуктивних методів навчання призвело б до більшої продуктивності в освоєнні знань. Учитель стає людиною, прямо формує функції мозку.

Приклад аналітико-синтетичного способу вирішення завдання (Додаток 8) з переходом до короткій формі записи рішення.

На кожному етапі (кроці) рішення задачі обговорюється план рішення, розглядається кілька варіантів рішення, вибирається раціональний. Вирішуються так звані елементарні завдання по відношенню до даної Неелементарні задачі. Дана Неелементарні на деякому етапі навчання сама може стати елементом вирішення складніших завдань.

Проміжний розумовий процес, що протікає в свідомості учня між двома етапами рішення, допомагає встановлювати зв'язки між ними, поглиблювати розуміння і активізувати розумову діяльність. Складається з:

• згадування, застосування по ходу ознайомлення з матеріалом визначень, теорем, законів, різних правил, в тому числі мнемонічних, які як раз і призначені для кращого запам'ятовування тих чи інших фактів;
• споглядання, уявлення наочних зразків (моделей, графіків, малюнків, діаграм);
• будь-якої діяльності з образами;
• оперування знаками і символами (введення стрілок та інших позначень, підкреслення записів ...);
• будь-яких міркувань, дій, що поглиблюють розуміння.

Якщо проміжні елементарні завдання громіздкі, або діти забули їх рішення, краще згадати їх рішення в усному рахунку, підготувавши заздалегідь дітей до вирішення більш складної задачі.

Аналітично-синтетичний метод можна застосовувати і при вирішенні завдань і вправ з інших предметів: з алгебри, фізики, хімії.

Приклади розв'язання задач в Додатку 9.

література

1. Грудень Я. І. Удосконалення методики роботи вчителя математики. - М ,: Педагогіка, 1992р.
2. Крутецкий В. А. Психологія математичних здібностей школярів. - М ,: Просвітництво, 1985 г.
3. Мордкович А. В. Семінар для молодих вчителів. "Математика" - додаток до газети "Перше вересня", №1-30. - 1993 р

26.03.2008