Завдання B5: площа сектора
Сьогодні ми навчимося вважати площі кіл і секторів саме в тому вигляді, в якому вони зустрічаються на цьому ЄДІ з математики. Основна проблема таких завдань B5 - ми не знаємо радіус. Більшість учнів просто губляться, коли виявляють, що коло не проходить через вузли сітки, розташовані на горизонтальних і вертикальних діаметрах.
Однак рішення є: досить вибрати будь-яку точку кола, що лежить в вузлах координатної сітки (така точка обов'язково знайдеться, інакше завдання складена некоректно), а потім за допомогою теореми Піфагора знайти квадрат радіусу цього кола.
Всі розрахунки ми будемо виконувати на прикладі наступної задачі:
Завдання. Знайдіть площу закрашеного сектора, зображеного на картатій папері з розміром клітини 1 см × 1 см. У відповіді вкажіть величину / π.
В першу чергу нам потрібно формула площі кола:
де - радіус нашого кола. Цю формулу треба знати напам'ять. Без неї завдання B5 на площу круга не вирішуються взагалі.
Але є й інша проблема. Давайте уважно подивимося на малюнок. Для обчислення площі круга (а потім - і сектора) нам треба знати радіус.
Ну і де ж тут радіус? Якщо ми проведемо горизонтальну вісь, то отримаємо незрозуміле число на відрізку [2; 3]. Звичайно, можна сказати, що це число ближче до = 3, але чому саме одно це число, нам невідомо. А отже, використовувати цю приблизну оцінку для вирішення завдання ми не можемо. Треба діяти якось інакше.
Наприклад, давайте пройдемося по нашій окружності і відзначимо на ній ті точки, які лежать в вузлах координатної сітки. Таких точок буде 4 штуки:
Що дають нам ці точки? А справа в тому, що ми можемо точно вказати, на скільки клітин ці точки відстоять від центру кола. Наприклад, розглянемо точку і центр кола:
Ми бачимо, що точка відстоїть від точки на 2 клітини по горизонталі і на 2 клітини по вертикалі. Отримуємо прямокутний трикутник з катетами 2 і 2. Крім того, гіпотенуза нашого прямокутного трикутника як раз і є радіусом кола, площа сектора в якому нам і потрібно знайти.
По теоремі Піфагора отримуємо:
Тепер ми знаємо квадрат радіуса кола: 2 = 8. Отже, знаючи радіус, ми можемо знайти площу всього кола. Досить просто підставити знайдений радіус в формулу площі. отримаємо:
Наступний крок - ми повинні зрозуміти, яку частину площі кола займає зафарбований сектор. Для цього давайте схематично розділимо вихідний коло на 8 рівних частин, як піцу. На отриманій розмітці закрасимо ті шматочки, які входять до складу шуканого сектора. Вийде ось така картинка:
Виходить, що зафарбованих шматочків = 3. При цьому всього шматків було = 8. Оскільки площі всіх секторів, що виникають при «розрізуванні» вихідного кола, однакові, можна знайти площу кожного з них, розділивши загальну площу на 8. Потім треба помножити отримане число на 3, оскільки в шуканому секторі міститься 3 таких однакових шматочка. Підставляємо всі в формулу:
Але це ще не все! У задачі B5 нас просять вказати величину / π. Підставляємо і отримуємо:
Ось ми і знайшли відповідь. Площа сектора, поділена на π, дорівнює 3. Як бачите, нічого складного в цьому завданні немає. Все, що від нас вимагається - правильно вибирати точки на колі (треба, щоб вони лежали в вузлах координатної стеки), а потім підставляти отримані числа в теорему Піфагора.
Сподіваюся, цей урок допоможе тим учням, яким треба буде здавати ЄДІ з математики. Завдання на площу секторів зустрічаються досить рідко, але до них треба бути готовим, щоб вони не застали вас зненацька.
Дивіться також:
- Завдання B5: площа закрашеного сектора
- Площа кола
- Зведення дробів до спільного знаменника
- Наслідки з теореми Вієта
- Пробний ЄДІ з математики 2015: 2 варіант
- ЄДІ-2014 з математики та відкритий банк завдань