Поняття функції розподілу
Практично будь-яка технічна наука заснована на емпіричному (дослідному) знанні, отже, отримання даних про той чи інший об'єкт дослідження неминуче супроводжується фактором випадковості. Під фактором випадковості ми маємо на увазі свідомо невідому сукупність досвідчених даних, яку необхідно представити в аналітичній формі.
Продовжуючи розмову про аналітичному описі механічних систем, зокрема дискретних систем, варто відзначити, що найбільш універсальною характеристикою випадкової величини є функція розподілу.
Функція розподілу випадкової величини (вона ж інтегральна функція розподілу ймовірностей) - це ймовірність того, що випадкова величина (назвемо її ξ) прийме значення менше, ніж конкретне числове значення X:
Для дискретної випадкової величини функція розподілу обчислюється для кожного значення як сума ймовірностей, які відповідають усім попереднім значенням випадкової величини.
Відносно дискретних систем в підрозділі «Методи визначення розмірів частинок» згадувалося, що функції розподілу використовуються для представлення результатів дисперсійного аналізу гранульованих матеріалів. У тому ж підрозділі описується принцип побудови диференціальних гістограм і кривих розподілу часток за розмірами, що дозволяють виробляти статистичний аналіз гранулометричного складу сипучих матеріалів. З огляду на те, що сучасні методи обробки емпіричних даних грунтуються на застосуванні програмно-обчислювальних засобів, далі ми будемо розглядати питання, що стосуються розробки алгоритмів комп'ютерного аналізу емпіричних розподілів.
Розглянемо поетапно процес статистичної обробки даних із застосуванням алгоритмічних методів на прикладі дисперсійного аналізу гранульованого матеріалу. Як вже зазначалося вище, результатом дисперсійного аналізу є набір даних про розміри частинок і ймовірності їх присутності в складі гранульованого матеріалу. Одержані дані носять дискретний характер, іншими словами, вимірювання проводяться з певним кроком. У разі ситового аналізу кроком дискретності вимірів є апертура стандартних сит, наприклад, 5,0; 2,5; 1,25; 0,63; 0,315; 0,25; 0,125; 0,063 мм. Це означає, що в процесі аналізу фіксуються залишки проби матеріалу на зазначених ситах, при цьому проміжні значення розмірів зерен між двома апертурами залишаються невідомими. Для побудови інтегральної кривої розсіву отриманих даних досить, а проміжні значення розподілу розмірів визначаються лінійною інтерполяцією (дискретні точки кривої з'єднуються прямими відрізками). Малюнок 1 ілюструє криву розсівання гранульованого матеріалу, побудовану за даними ситового аналізу.
Малюнок 1 - Приклад кривої розсіву матеріалу за даними ситового аналізу
Таким чином, побудувавши інтегральну криву розсівання, ми приблизно описуємо зерновий склад матеріалу з допущенням, що кожна фракція гранульованого матеріалу, укладена між двома апертурами, наприклад 1,25-2,5 мм, описується лінійним розподілом розмірів частинок. Однак фактично розподіл розмірів зерен всередині однієї фракції має розкид. Точність визначення гранулометричного складу матеріалу залежить від конкретного застосовуваного експериментального методу дисперсійного аналізу. Ситовий аналіз в даному випадку дає найбільш грубу оцінку зернового складу матеріалу, зважаючи на великий кроку дискретності. Даний тип аналізу застосовується до грубодисперсних матеріалами, наприклад, природним гранульованим матеріалами (щебінь, пісок). Для дослідження тонкодисперсних матеріалів (порошків, пилу) застосовуються більш точні методи дисперсійного аналізу, наприклад, лазерний дифракційну аналіз. Даний метод аналізу характеризується малим кроком дискретності вимірів, а в результаті аналізу виходить більше вихідних даних. Так, наприклад, для проби порошку цементу в результаті лазерного аналізу отримують криву розподілу, що включає близько 50-100 експериментальних точок.
Коли мова йде про диференціальному розподілі часток за розмірами, а саме про отримання диференціальної функції розподілу, виникає завдання апроксимації емпіричного розподілу значень плавною кривою. Малюнок 2 наочно демонструє результат побудови диференціальних гістограм розподілу часток за розмірами (в і г) для лінійної (а) і сплайновой (б) апроксимації інтегральної кривої розподілу. Масштаб осі ординат диференціальної гістограми в 4 рази більше масштабу осі ординат інтегрального графіка.
Малюнок 2 - Приклад побудови диференціальної гістограми розподілу частинок за розмірами для двох випадків апроксимації інтегральної кривої
Як видно з представленого малюнка, сплайнова апроксимація інтегральної кривої розподілу дозволяє побудувати гістограму диференціального розподілу, яка носить більш закономірний характер, на відміну від першого способу апроксимації даних. Далі зупинимося на понятті «апроксимація».
Апроксимація (від лат. Approximo - наближаюся) - заміна одних математичних об'єктів іншими, в тому чи іншому сенсі близькими до вихідних. Апроксимація дозволяє досліджувати числові характеристики або якісні характеристики об'єкта, зводячи завдання до вивчення більш простих або зручних об'єктів (наприклад, таких, характеристики яких легко обчислюються або властивості яких вже відомі) [1].
Умовно апроксимацію можна розділити на два види:
- сувора теорія математичної апроксимації;
- фізична (технічна) апроксимація.
Сувора теорія математичної апроксимації включає в себе наступні методи апроксимації [2]:
- полиномами (многочленами);
- сплайнами;
- відрізками ряду Фур'є;
- полиномами по ортогональних многочленів;
- власними функціями крайових задач.
Бібліографічні посилання:
[1] - Математика: Енциклопедія / під ред. Ю.В. Прохорова.- М .: Велика Російська енциклопедія, 2003.
[2] - Голубинський, А.Н. Методи апроксимації експериментальних даних і побудови моделей / О.М. Голубинський // Вісник Воронезького інституту МВС Росії. Випуск №2. 2007. С.1-6.
При використанні матеріалів посилання на сайт www.sunspire.ru обов'язкове. Також, ви можете використовувати бібліографічне посилання на навчальний посібник:
"Белов, В.В. Комп'ютерна реалізація рішення науково-технічних і освітніх завдань: навчальний посібник / В.В. Бєлов, І.В. Образцов, В.К. Іванов, О.М. Конопльов // Твер: ТвГТУ, 2015 . 108 с. "