НОУ ІНТУЇТ | лекція | Розподіл моментів надходження викликів

  1. експоненціальне розподіл
  2. Мінімум до експоненціально розподілених випадкових змінних
  3. Комбінація експоненційних розподілів

Анотація: Експоненціальне розподіл - найважливіше розподіл часу в теорії телетрафіка. Комбінуючи експоненціальні розподілені тимчасові інтервали послідовно, ми отримуємо клас розподілів, названих розподілами Ерланга. Комбінуючи їх паралельно, отримуємо гиперекспониціональне розподіл. Комбінуючи експоненціальні розподілу і послідовно і паралельно, можливо, з інформацією зворотного зв'язку, отримуємо розподілу фазового типу, які є класом загальних розподілів. Один важливий підклас розподілів фазового типу - розподілу Кокса. Звернемо увагу, що довільне розподіл може бути виражено розподілом Кокса, яке відносно просто може використовуватися в аналітичних моделях. Нарешті, ми також маємо справу з іншими розподілами часу, які використовуються в теорії телетрафіка.

експоненціальне розподіл

В теорії телетрафіка це розподіл також називається негативним експоненціальним розподілом. Воно було вже згадано в секції 3.1.2, і знову буде застосовуватися в секції 6.2.1. В принципі, ми можемо використовувати будь-яку функцію розподілу з невід'ємними значеннями, щоб моделювати час "життя". Однак експоненціальне розподіл має деякі унікальні характеристики, які мають аналітичне і практичне використання. Експоненціальне розподіл грає ключову роль серед всіх розподілів часу "життя".

Цей розподіл характеризується єдиним параметром - інтенсивністю або швидкістю Цей розподіл характеризується єдиним параметром - інтенсивністю або швидкістю   : :

Гамма функція визначена як:

ми замінний ми замінний   і отримуємо   тий момент і отримуємо тий момент

Середня величина:

Середня величина:

Другий момент:

Другий момент:

дисперсія:

дисперсія:

Коефіцієнт форми:

Мал
Мал.4.1.

У діаграмах стану експоненціально розподілений часовий інтервал зображують як блок з певною інтенсивністю. Блок означає, що клієнт, який прибуває в нього, затримується перед тим, як покинути блок, на експоненціально розподілений часовий інтервал.

Експоненціальне розподіл дуже підходить для опису фізичних тимчасових інтервалів ( рис.4.2 ).

Сама фундаментальна характеристика експоненціального розподілу - відсутність пам'яті.

Розподіл залишку часу з'єднання зв'язку не залежить від фактичної тривалості цього з'єднання, і так само розподілу всього часу "життя" (3.11):

Якщо ми видаляємо безліч ймовірностей в інтервалі (0, х) з функції щільності, і нормалізуємо залишалося безліч в інтервалі (х, 1) до одиниці, тоді нова функція щільності стає конгруентної (порівнянної) з початковою функцією щільності. Єдина безперервна функція розподілу, що має цю властивість - експоненціальне розподіл, а дискретний розподіл, що володіє цією властивістю - геометричний розподіл.

Наприклад, на рис.3.1 показано розподіл Вейбулла, де це властивість не справедливо. Для k = 1 розподіл Вейбулла стає ідентичним експоненціального розподілу. Тому середня величина залишкового часу "життя" - Наприклад, на   рис , І ймовірність існування "життя" в інтервалі (t, t + dt), за умови, що вона виникає після моменту t, буде:

Таким чином, ймовірність існування "життя" в інтервалі часу (t, t + dt) залежить тільки від Таким чином, ймовірність існування життя в інтервалі часу (t, t + dt) залежить тільки від   і   , Але не залежить від фактичного віку (t) і , Але не залежить від фактичного віку (t).

Мінімум до експоненціально розподілених випадкових змінних

Нехай дві випадкових змінні Нехай дві випадкових змінні   і   є взаємно незалежними і експоненціально розподіленими з інтенсивностями   і   , Відповідно і є взаємно незалежними і експоненціально розподіленими з інтенсивностями і , Відповідно. Нова випадкова змінна визначається як:

Нова випадкова змінна   визначається як:

Функція розподілу X дорівнює:

Ця функція розподілу - теж експоненціальне розподіл з інтенсивністю Ця функція розподілу - теж експоненціальне розподіл з інтенсивністю .

Згідно з припущенням, що перше (найменше) подія відбувається в межах тимчасового інтервалу t, t + dt, ймовірність, що випадкова змінна Згідно з припущенням, що перше (найменше) подія відбувається в межах тимчасового інтервалу t, t + dt, ймовірність, що випадкова змінна   буде реалізована першої (тобто, в цьому інтервалі з'явиться першої, а інша виникне пізніше), буде дорівнює: буде реалізована першої (тобто, в цьому інтервалі з'явиться першої, а інша виникне пізніше), буде дорівнює:

тобто, незалежно від t. Таким чином, ми не повинні інтегрувати за всіма значеннями t.

Ці результати можуть бути узагальнені на k змінних, і прийматися як основний принцип методики моделювання, званий метод рулетки або метод моделювання Монте-Карло.

Комбінація експоненційних розподілів

Якщо за допомогою одного експоненціального розподілу (тобто одного параметра) ми не можемо описати досить детально тимчасові інтервали, то нам, ймовірно, доведеться використовувати комбінацію двох або більше експоненційних розподілів. Пальма ввів два класи розподілів: круте і плоске. Круте розподіл відповідає набору послідовних, стохастичних незалежних експоненційних розподілів ( рис.4.2 ), А плоске відповідає паралельним експоненціальним розподілом ( рис.4.4 ). Така структура природно дозволяє описати процеси навантаження в телекомунікації та мережах передачі даних.

Комбінуючи круте і плоске розподілу, ми можемо отримати довільно добре наближення для будь-якої функції розподілу (див. рис.4.7 і секцію 4.4). діаграми на рис.4.2 і рис.4.4 називаються фазовими діаграмами (або діаграмами станів).

Комбінуючи k експоненційних розподілів послідовно, отримуємо круте розподіл Комбінуючи k експоненційних розподілів послідовно, отримуємо круте розподіл . Якщо все k розподілу ідентичні ( ), То ми отримуємо k розподіл Ерланга