WikiZero - Теорема Піфагора

1. Через подібні трикутники [ правити | правити код ]
2. Докази методом площ [ правити | правити код ]
3. Доказ через равнодополняемость [ правити | правити код ]
4. Доказ Евкліда [ правити | правити код ]
5. Доказ Леонардо да Вінчі [ правити | правити код ]
6. Через площі подібних трикутників [ правити | правити код ]
7. Доказ методом нескінченно малих [ правити | правити код ]
8. Подібні геометричні фігури на трьох сторонах [ правити | правити код ]
9. Теорема косинусів [ правити | правити код ]
10. Довільний трикутник [ правити | правити код ]
11. Теорема Паппа про площі [ правити | правити код ]
12. Багатовимірні узагальнення [ правити | правити код ]
13. Неевклидова геометрія [ правити | правити код ]
14. Сферична геометрія [ правити | правити код ]
15. Геометрія Лобачевського [ правити | правити код ]
16. Відстань в двовимірних прямокутних системах [ правити | правити код ]
17. Евклидова метрика [ правити | правити код ]
18. Теорія чисел [ правити | правити код ]

open wikipedia design.

Теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії , Що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника : Сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи .

Співвідношення в тому чи іншому вигляді імовірно було відомо різних древніх цивілізацій задовго до нашої ери; перший геометричне доказ приписується Піфагору . Затвердження з'являється як Пропозиція 47 в « засадах » Евкліда

.

Також може бути виражена як геометричний факт про те, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. Вірно і зворотне твердження

: Трикутник, сума квадратів довжин двох сторін якого дорівнює квадрату довжини третьої сторони, є прямокутним.

Існує ряд узагальнень даної теореми

- для довільних трикутників, для фігур в просторах вищих розмірностей. В неевклідових геометрії теорема не виконується [⇨] .

На думку історика математики Моріца Кантора , в Стародавньому Єгипті за часів царя Аменемхета I (близько XXIII століття до н. е. ) Було відомо про прямокутному трикутнику зі сторонами 3, 4, 5 - його використовували гарпедонапти - «натягівателі мотузок» [1] . В древневавилонском тексті, относимом до часів Хаммурапі ( XX століття до н. е. ), Наведено наближене обчислення гіпотенузи [2] . На думку Ван-дер-Вардена , Дуже ймовірно, що співвідношення в загальному вигляді було відомо в Вавилоні вже близько XVIII століття до н. е.

В старокитайської книзі « Чжоу бі суань цзин », Які відносять до періоду V-III століть до н. е., наводиться трикутник зі сторонами 3, 4 і 5, до того ж зображення можна трактувати як графічне обгрунтування співвідношення теореми [3] . У китайському збірнику завдань « Математика в дев'яти книгах »(X-II століть до н. Е.) Застосування теореми присвячена окрема книга.

Загальноприйнято, що доказ співвідношення дано давньогрецьким філософом Пифагором (570-490 до н. Е.). є свідчення Прокла (412-485 н. Е.), Що Піфагор використовував алгебраїчні методи, щоб знаходити піфагорові трійки

, Але при цьому протягом п'яти століть після смерті Піфагора прямих згадок про доведення його авторства чи не знаходиться. Однак коли такі автори, як Плутарх і Цицерон , Пишуть про теорему Піфагора, зі змісту випливає, ніби авторство Піфагора загальновідомо і безсумнівно [5] [6] . Існує переказ, повідомлене Діогеном Лаертським , згідно якому Піфагор нібито відсвяткував відкриття своєї теореми гігантським бенкетом, у жертву принесений на радощах сотню биків [7] .

Приблизно в 400 році до н. е., згідно Проклу, Платон дав метод знаходження піфагорових трійок, що поєднує алгебру і геометрію. Близько в 300 року до н. е. в «Початки» Евкліда з'явилося найстаріше аксіоматична доказ теореми Піфагора [8] .

Основна формулювання містить алгебраїчні дії - в прямокутному трикутнику, довжини катетів якого рівні a {\ displaystyle a} і b {\ displaystyle b} , А довжина гіпотенузи - c {\ displaystyle c} , Виконано співвідношення:

a 2 + b 2 = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} .

Можлива і еквівалентна геометрична формулювання, яка вдається до поняття площі фігури : В прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. У такому вигляді теорема сформульована в Засадах Евкліда.

Зворотній теорема Піфагора - твердження про прямоугольности всякого трикутника, довжини сторін якого пов'язані співвідношенням a 2 + b 2 = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} . Як наслідок, для будь-якої трійки позитивних чисел a {\ displaystyle a} , B {\ displaystyle b} і c {\ displaystyle c} , Такий, що a 2 + b 2 = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} , Існує прямокутний трикутник з катетами a {\ displaystyle a} і b {\ displaystyle b} і гіпотенузою c {\ displaystyle c} .

У науковій літературі зафіксовано не менше 400 доказів теореми Піфагора [9] , Що пояснюється як фундаментальне значення для геометрії, так і елементарністю результату. Основні напрямки доказів: алгебраїчне використання співвідношень елементів трикутника (Такий, наприклад, популярний метод подібності

[⇨]

), Метод площ [⇨] , Існують також різні екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники [ правити | правити код ]

Одним з найбільш популярних в навчальній літературі доказів алгебраїчної формулювання є доказ з використанням техніки подібності трикутників , При цьому воно майже безпосередньо виводиться з аксіом і не задіює поняття площі фігури . У ньому для трикутника △ A B C {\ displaystyle \ triangle ABC} з прямим кутом при вершині C {\ displaystyle C} зі сторонами a, b, c {\ displaystyle a, b, c} , Протилежними вершинами A, B, C {\ displaystyle A, B, C} відповідно, проводиться висота C H {\ displaystyle CH} , При цьому (відповідно до ознакою подібності по рівності двох кутів) виникають співвідношення подібності: △ A B C ~ △ A C H {\ displaystyle \ triangle ABC \ sim \ triangle ACH} і △ A B C ~ △ C B H {\ displaystyle \ triangle ABC \ sim \ triangle CBH} , З чого безпосередньо слідують співвідношення:

a c = | H B | a {\ displaystyle {\ frac {a} {c}} = {\ frac {| HB |} {a}}} ; b c = | A H | b {\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = {\ frac {| AH |} {b}}} .

При перемножуванні крайніх членів пропорцій виводяться рівності:

a 2 = c ⋅ | H B | {\ Displaystyle a ^ {2} = c \ cdot | HB |} ; b 2 = c ⋅ | A H | {\ Displaystyle b ^ {2} = c \ cdot | AH |} ,

покомпонентное складання яких дає необхідний результат:

a 2 + b 2 = c ⋅ (| HB | + | AH |) = c 2 ⇔ a 2 + b 2 = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c \ cdot \ left ( | HB | + | AH | \ right) = c ^ {2} \, \ Leftrightarrow \, a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} .

Докази методом площ [ правити | правити код ]

Велике число доказів задіють поняття площі. Незважаючи на видиму простоту багатьох з них, такі докази використовують властивості площ фігур, докази яких складніше докази самої теореми Піфагора.

Доказ через равнодополняемость [ правити | правити код ]

Доказ через равнодополняемость використовує чотири копії прямокутного трикутника з катетами a, b {\ displaystyle a, b} і гіпотенузою c {\ displaystyle c} , Розташовані таким чином, щоб утворювати квадрат зі стороною a + b {\ displaystyle a + b} і внутрішній чотирикутник зі сторонами довжиною c {\ displaystyle c} . Внутрішній чотирикутник в цій конфігурації є квадратом , Так як сума двох протилежних прямому гострих кутів - 90 °, а розгорнутий кут - 180 °. Площа зовнішнього квадрата дорівнює (a + b) 2 {\ displaystyle (a + b) ^ {2}} , Він складається з внутрішнього квадрата площею c 2 {\ displaystyle c ^ {2}} і чотирьох прямокутних трикутників, кожен площею a b 2 {\ displaystyle {\ frac {ab} {2}}} , В результаті зі співвідношення (a + b) 2 = 4 ⋅ ab 2 + c 2 {\ displaystyle (a + b) ^ {2} = 4 \ cdot {\ frac {ab} {2}} + c ^ {2 }} при алгебраїчному перетворенні слід твердження теореми.

Доказ Евкліда [ правити | правити код ]

Класичне доказ Евкліда направлено на встановлення рівності площ між прямокутниками, освіченими з розсічення квадрата над гипотенузой висотою з прямого кута з квадратами над катетами.

Конструкція, яка використовується для доказу наступна: для прямокутного трикутника △ A B C {\ displaystyle \ triangle ABC} з прямим кутом C {\ displaystyle C} , Квадратів над катетами A C E D {\ displaystyle ACED} і B C F G {\ displaystyle BCFG} і квадрата над гипотенузой A B I K {\ displaystyle ABIK} будується висота C H {\ displaystyle CH} і продовжує її промінь s {\ displaystyle s} , Який розбиває квадрат над гипотенузой на два прямокутника A H J K {\ displaystyle AHJK} і B H J I {\ displaystyle BHJI} . Доказ націлене на встановлення рівності площ прямокутника A H J K {\ displaystyle AHJK} з квадратом над катетом A C {\ displaystyle AC} ; рівність площ другого прямокутника, що становить квадрат над гипотенузой, і прямокутника над іншим катетом встановлюється аналогічним чином.

Рівність площ прямокутника A H J K {\ displaystyle AHJK} і A C E D {\ displaystyle ACED} встановлюється через конгруентність трикутників △ A C K ​​{\ displaystyle \ triangle ACK} і △ A B D {\ displaystyle \ triangle ABD} , Площа кожного з яких дорівнює половині площі прямокутників A H J K {\ displaystyle AHJK} і A C E D {\ displaystyle ACED} відповідно в зв'язку з наступним властивістю: площа трикутника дорівнює половині площі прямокутника, якщо у фігур є загальна сторона, а висота трикутника до загальної стороні є іншою стороною прямокутника. Конгруентність трикутників випливає з рівності двох сторін (сторони квадратів) і куту між ними (складеного з прямого кута і кута при A {\ displaystyle A} .

Таким чином, доказом встановлюється, що площа квадрата над гипотенузой, складеного з прямокутників A H J K {\ displaystyle AHJK} і B H J I {\ displaystyle BHJI} , Дорівнює сумі площ квадратів над катетами.

Доказ Леонардо да Вінчі [ правити | правити код ]

До методу площ відноситься також доказ, знайдене Леонардо Да Вінчі . Нехай дано прямокутний трикутник △ A B C {\ displaystyle \ triangle ABC} з прямим кутом C {\ displaystyle C} і квадрати A C E D {\ displaystyle ACED} , B C F G {\ displaystyle BCFG} і A B H J {\ displaystyle ABHJ} (Див. Рисунок). У цьому доказі на стороні H J {\ displaystyle HJ} останнього в зовнішню сторону будується трикутник, конгруентний △ A B C {\ displaystyle \ triangle ABC} , Притому відбитий як щодо гіпотенузи, так і щодо висоти до неї (тобто J I = B C {\ displaystyle JI = BC} і H I = A C {\ displaystyle HI = AC} ). Пряма C I {\ displaystyle CI} розбиває квадрат, побудований на гіпотенузі на дві рівні частини, оскільки трикутники △ A B C {\ displaystyle \ triangle ABC} і △ J H I {\ displaystyle \ triangle JHI} рівні з побудови. Доказ встановлює конгруентність чотирикутників C A J I {\ displaystyle CAJI} і D A B G {\ displaystyle DABG} , Площа кожного з яких, виявляється, з одного боку, яка дорівнює сумі половин площ квадратів на катетах і площі вихідного трикутника, з іншого боку - половині площі квадрата на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Разом, половина суми площ квадратів над катетами дорівнює половині площі квадрата над гипотенузой, що рівносильно геометричній формулюванні теореми Піфагора.

Через площі подібних трикутників [ правити | правити код ]

Наступний доказ засноване на тому, що площі подібних трикутників відносяться як квадрати відповідних сторін.

Нехай A B C {\ displaystyle ABC} є прямокутний трикутник, A D {\ displaystyle AD} - перпендикуляр, опущений на гіпотенузу з вершини прямого кута. Трикутники A B C {\ displaystyle ABC} , D B A {\ displaystyle DBA} подібні, так як мають по прямого кута і ще загальний кут B {\ displaystyle B} . значить

площа D B A площа A B C = A B 2 B C 2. {\ Displaystyle {\ frac {{\ text {площа}} ~ DBA} {{\ text {площа}} ~ ABC}} = {\ frac {AB ^ {2}} {BC ^ {2}}}.}

Точно також отримуємо, що

площа D A C площа A B C = A C 2 B C 2. {\ Displaystyle {\ frac {{\ text {площа}} ~ DAC} {{\ text {площа}} ~ ABC}} = {\ frac {AC ^ {2}} {BC ^ {2}}}.}

Оскільки трикутники D B A {\ displaystyle DBA} і D A C {\ displaystyle DAC} разом складають △ A B C {\ displaystyle \ triangle ABC} , Сума площ △ D B A {\ displaystyle \ triangle DBA} і △ D A C {\ displaystyle \ triangle DAC} дорівнює площі △ A B C {\ displaystyle \ triangle ABC} . Звідси

A B 2 + A C 2 B C 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {AB ^ {2} + AC ^ {2}} {BC ^ {2}}} = 1}

або A B 2 + A C 2 = B C 2. {\ Displaystyle AB ^ {2} + AC ^ {2} = BC ^ {2}.}

Доказ методом нескінченно малих [ правити | правити код ]

Існує кілька доказів, які вдаються до техніки диференціальних рівнянь . Зокрема, Харді приписується доказ, що використовує нескінченно малі збільшення катетів a {\ displaystyle a} і b {\ displaystyle b} і гіпотенузи c {\ displaystyle c} . Наприклад, приріст катета d a {\ displaystyle da} при постійному катеті b {\ displaystyle b} призводить до збільшення гіпотенузи d c {\ displaystyle dc} , так що

d a d c = c a {\ displaystyle {\ frac {da} {dc}} = {\ frac {c} {a}}}

Розділення змінних з них виводиться диференціальне рівняння c d c = a d a {\ displaystyle c \ dc = a \, da} , Інтегрування якого дає співвідношення c 2 = a 2 + C o n s t {\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + \ mathrm {Const}} . Застосування початкових умов a = 0, c = b {\ displaystyle a = 0, c = b} визначає константу як b 2 {\ displaystyle b ^ {2}} , Що в результаті дає твердження теореми.

Квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної пропорційності між сторонами трикутника і приростами, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від збільшення різних катетів.

Подібні геометричні фігури на трьох сторонах [ правити | правити код ]

Важливе геометричне узагальнення теореми Піфагора дав Евклід в « засадах », Перейшовши від площ квадратів на сторонах до площ довільних подібних геометричних фігур [10] : Сума площ таких фігур, побудованих на катетах, буде дорівнює площі подібної їм фігури, побудованої на гіпотенузі.

Головна ідея цього узагальнення полягає в тому, що площа подібної геометричної фігури пропорційна квадрату будь-якого свого лінійного розміру і зокрема квадрату довжини будь-якого боку. Отже, для подібних фігур з площами A {\ displaystyle A} , B {\ displaystyle B} і C {\ displaystyle C} , Побудованих на катетах з довжинами a {\ displaystyle a} і b {\ displaystyle b} і гіпотенузи c {\ displaystyle c} відповідно, має місце співвідношення:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C {\ displaystyle {\ frac {A} {a ^ {2}}} = {\ frac {B } {b ^ {2}}} = {\ frac {C} {c ^ {2}}} \, \ Rightarrow \, A + B = {\ frac {a ^ {2}} {c ^ {2} }} C + {\ frac {b ^ {2}} {c ^ {2}}} C} .

Так як по теоремі Піфагора a 2 + b 2 = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} , То виконано A + B = C {\ displaystyle A + B = C} .

Крім того, якщо можливо довести без залучення теореми Піфагора, що для площ трьох подібних геометричних фігур на сторонах прямокутного трикутника виконано співвідношення A + B = C {\ displaystyle A + B = C} , То з використанням зворотного ходу докази узагальнення Евкліда можна вивести доказ теореми Піфагора. Наприклад, якщо на гіпотенузі побудувати конгруентний початкового прямокутний трикутник площею C {\ displaystyle C} , А на катетах - два подібних йому прямокутних трикутника з площами A {\ displaystyle A} і B {\ displaystyle B} , То виявляється, що трикутники на катетах утворюються в результаті поділу початкового трикутника його висотою, тобто сума двох менших площ трикутників дорівнює площі третього, таким чином A + B = C {\ displaystyle A + B = C} і, застосовуючи співвідношення для подібних фігур, виводиться теорема Піфагора.

Теорема косинусів [ правити | правити код ]

Теорема Піфагора - це окремий випадок більш загальної теореми косинусів, яка пов'язує довжини сторін в довільному трикутнику [11] :

a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ θ = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos {\ theta} = c ^ {2}} ,

де θ {\ displaystyle \ theta} - кут між сторонами a {\ displaystyle a} і b {\ displaystyle b} . Якщо кут дорівнює 90 °, то cos ⁡ θ = 0 {\ displaystyle \ cos \ theta = 0} , І формула спрощується до звичайної теореми Піфагора.

Довільний трикутник [ правити | правити код ]

Існує узагальнення теореми Піфагора на довільний трикутник, що оперує виключно співвідношенням довжин сторін. Вважається, що воно вперше було встановлено сабійскім астрономом Сабітом ібн Куррі [12] . У ньому для довільного трикутника зі сторонами a, b, c {\ displaystyle a, b, c} в нього вписується рівнобедрений трикутник з основою на стороні c {\ displaystyle c} , Вершиною, що збігається з вершиною вихідного трикутника, протилежні стороні c {\ displaystyle c} і кутами при підставі, рівними кутку θ {\ displaystyle \ theta} , Протилежного стороні c {\ displaystyle c} . В результаті утворюються два трикутника, подібних вихідного: перший - зі сторонами a {\ displaystyle a} , Далекої від неї бічною стороною вписаного рівнобедреного трикутника, і r {\ displaystyle r} - частини боку c {\ displaystyle c} ; другий - симетрично до нього від сторони b {\ displaystyle b} зі стороною s {\ displaystyle s} - відповідною частиною боку c {\ displaystyle c} . В результаті виявляється виконано співвідношення [13] [14] :

a 2 + b 2 = c (r + s) {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c (r + s)} ,

вироджується в теорему Піфагора при θ = π / 2 {\ displaystyle \ theta = \ pi / 2} . Співвідношення є наслідком подібності утворених трикутників:

ca = ar, cb = bs ⇒ cr + cs = a 2 + b 2 {\ displaystyle {\ frac {c} {a}} = {\ frac {a} {r}}, \, {\ frac {c} {b}} = {\ frac {b} {s}} \, \ Rightarrow \, cr + cs = a ^ {2} + b ^ {2}} .

Теорема Паппа про площі [ правити | правити код ]

Теорема Паппа про площі , Що дозволяє для довільного трикутника і довільних паралелограмів на двох його сторонах побудувати паралелограм на третій стороні таким чином, щоб його площа дорівнювала сумі площ двох заданих паралелограмів, також може бути розглянута як узагальнення теореми Піфагора [15] : В разі, коли вихідний трикутник - прямокутний, а на катетах як паралелограмів задані квадрати, квадрат, побудований на гіпотенузі виявляється задовольняє умовам теореми Паппа про площах.

Багатовимірні узагальнення [ правити | правити код ]

Узагальненням теореми Піфагора для тривимірного евклідового простору є теорема де Гуа : якщо тетраедр має прямий кут, то квадрат площі грані, що лежить навпроти прямого кута, дорівнює сумі квадратів площ інших трьох граней. Цей висновок може бути узагальнений і як «n-мірна теорема Піфагора» для евклідових просторів вищих розмірностей [16] - для граней ортогонального n {\ displaystyle n} -мірного симплекса з площами S 1, ..., S n {\ displaystyle S_ {1}, \ dots, S_ {n}} ортогональних граней і противолежащей їм межі площею S 0 {\ displaystyle S_ {0}} виконано співвідношення:

S 0 2 = Σ i = 1 n S i 2 {\ displaystyle S_ {0} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} S_ {i} ^ {2}} .

Ще одне багатовимірне узагальнення виникає з задачі знаходження квадрата довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда : Для її обчислення необхідно двічі застосувати теорему Піфагора, в результаті вона складе суму квадратів довжин трьох суміжних сторін паралелепіпеда. У загальному випадку, довжина діагоналі n {\ displaystyle n} -мірного прямокутного паралелепіпеда із суміжними сторонами з довжинами a 1, ..., a n {\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}} становить:

d 2 = Σ i = 1 n a i 2 {\ displaystyle d ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2}} ,

як і в тривимірному випадку, результат є наслідком послідовного застосування теореми Піфагора до прямокутним трикутниках в перпендикулярних площинах.

Узагальненням теореми Піфагора для бесконечномерного простору є рівність Парсеваля [17] .

Неевклидова геометрія [ правити | правити код ]

Теорема Піфагора виводиться з аксіом евклідової геометрії і недійсна для неевклідової геометрії [18] - виконання теореми Піфагора рівносильно постулату Евкліда про паралельність [19] [20] .

У неевклідової геометрії співвідношення між сторонами прямокутного трикутника обов'язково буде у формі, відмінній від теореми Піфагора. Наприклад, в сферичної геометрії всі три сторони прямокутного трикутника, які обмежують собою октант одиничної сфери, мають довжину π / 2 {\ displaystyle \ pi / 2} , Що суперечить теоремі Піфагора.

При цьому теорема Піфагора справедлива в гіперболічної і еліптичної геометрії, якщо вимога про прямоугольности трикутника замінити умовою, що сума двох кутів трикутника має дорівнювати третього [21] .

Сферична геометрія [ правити | правити код ]

Для будь-которого прямокутна трикутника на сфере радіусом R {\ displaystyle R} (Например, если кут γ {\ displaystyle \ gamma} в трикутнику прямий) зі сторонами a, b, c {\ displaystyle a, b, c} співвідношення між сторонами має вигляд [22] :

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) {\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {c} {R}} \ right) = \ cos \ left ({\ frac {a} {R}} \ right) \ cdot \ cos \ left ({\ frac {b} {R}} \ right)} .

Це рівність може бути виведено як особливий випадок сферичної теореми косинусів , Яка справедлива для всіх сферичних трикутників:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ {\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac { c} {R}} \ right) = \ cos \ left ({\ frac {a} {R}} \ right) \ cdot \ cos \ left ({\ frac {b} {R}} \ right) + \ sin \ left ({\ frac {a} {R}} \ right) \ cdot \ sin \ left ({\ frac {b} {R}} \ right) \ cdot \ cos \ gamma} .

застосовуючи ряд Тейлора в функції косинуса (cos ⁡ x ≈ 1 - x 2 2 {\ displaystyle \ cos x \ approx 1 - {\ dfrac {x ^ {2}} {2}}} ) Можна показати, що якщо радіус R {\ displaystyle R} прагнути до нескінченності , А аргументи a R {\ displaystyle {\ dfrac {a} {R}}} , B R {\ displaystyle {\ dfrac {b} {R}}} і c R {\ displaystyle {\ dfrac {c} {R}}} прагнуть до нуля, то сферичне співвідношення між сторонами в прямокутному трикутнику наближається до теоремі Піфагора.

Геометрія Лобачевського [ правити | правити код ]

В геометрії Лобачевського для прямокутного трикутника зі сторонами a, b, c {\ displaystyle a, b, c} зі стороною c {\ displaystyle c} , Противолежащей прямого кута, співвідношення між сторонами буде наступним [23] :

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b {\ displaystyle \ operatorname {ch} c = \ operatorname {ch} a \ cdot \ operatorname {ch} b} ,

де ch {\ displaystyle \ operatorname {ch}} - гіперболічний косинус [24] . Ця формула є окремим випадком гіперболічної теореми косинусів, яка справедлива для всіх трикутників [25] :

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b - sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ {\ displaystyle \ operatorname {ch} c = \ operatorname {ch} a \ cdot \ operatorname {ch} b- \ operatorname {sh} a \ cdot \ operatorname {sh} b \ cdot \ cos \ gamma} ,

де γ {\ displaystyle \ gamma} - кут, вершина якого протилежна стороні c {\ displaystyle c} .

вікорістовуючі ряд Тейлора для гіперболічного косинуса (ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 2 {\ displaystyle \ operatorname {ch} x \ approx 1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {2}}} ) Можна показати, що якщо гіперболічний трикутник зменшується (тобто, коли a {\ displaystyle a} , B {\ displaystyle b} і c {\ displaystyle c} прагнуть до нуля), то гіперболічні співвідношення в прямокутному трикутнику наближаються до співвідношення класичної теореми Піфагора.

Відстань в двовимірних прямокутних системах [ правити | правити код ]

Найважливіше застосування теореми Піфагора - визначення відстані між двома точками в прямокутній системі координат : Відстань s {\ displaystyle s} між точками з координатами (a, b) {\ displaystyle (a, b)} і (c, d) {\ displaystyle (c, d)} одно:

s = (ac) 2 + (bd) 2 {\ displaystyle s = {\ sqrt {(ac) ^ {2} + (bd) ^ {2}}}} .

Для комплексних чисел теорема Піфагора дає природну формулу для знаходження модуля комплексного числа - для z = x + yi {\ displaystyle z = x + yi} він дорівнює довжині радіус-вектора на комплексній площині до точки (x, y) {\ displaystyle (x, y)} :

| z | = X 2 + y 2 {\ displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} .

Відстань між комплексними числами z 1 = x 1 + y 1 i {\ displaystyle z_ {1} = x_ {1} + y_ {1} i} і z 2 = x 2 + y 2 i {\ displaystyle z_ {2} = x_ {2} + y_ {2} i} також представляється у формі теореми Піфагора [26] :

| z 1 - z 2 | = (X 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 {\ displaystyle | z_ {1} -z_ {2} | = {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ { 2} + (y_ {1} -y_ {2}) ^ {2}}}} .

Евклидова метрика [ правити | правити код ]

евклидова метрика - функція відстані в евклідових просторах , Яка визначається за теоремою Піфагора, безпосереднім її застосуванням у двовимірному випадку, і послідовним в багатовимірному; для точок n {\ displaystyle n} мірного простору p = (p 1, ..., pn) {\ displaystyle p = (p_ {1}, \ dots, p_ {n})} і q = (q 1, ..., qn) {\ displaystyle q = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})} відстань d (p, q) {\ displaystyle d (p, q)} між ними визначається наступним чином:

d (p, q) = Σ i = 1 n (pi - qi) 2 {\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {(p_ {i} -q_ {i}) ^ {2}}}}} .

Теорія чисел [ правити | правити код ]

Числа Піфагора - набір з трьох натуральних чисел (X, y, z) {\ displaystyle (x, \; y, \; z)} , Які можуть бути довжинами сторін прямокутного трикутника, тобто натуральні числа, що задовольняють діофантових рівнянь x 2 + y 2 = z 2 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}} . Піфагорові трійки грають важливу роль в теорії чисел , Завдання їх ефективного знаходження породила широкий пласт робіт починаючи з найдавніших часів аж до сучасності. формулювання Великої теореми Ферма аналогічне завданню знаходження піфагорових трійок для ступеня більше 2.

1. ↑ Кантор посилається на папірус 6619 Берлінського музею
2. ↑ History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics
3. ↑ Наука, технічна і військова думка, охорону здоров'я і освіту // Духовна культура Китаю: енциклопедія в 5 томах / Титаренко М. Л. - М.: Східна література РАН, 2009. - Т. 5. - С. 939-941. - 1055 с. - ISBN 9785020184299 .
4. ↑ Euclid, 1956 , P. 351.
5. ↑ Heath, 1921 , Vol I, p. 144.
6. ↑ Kurt Von Fritz (Apr., 1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Second Series. Annals of Mathematics. 46 (2): 242-264. JSTOR 1969021 . : «Чи належить ця формула особисто перу Піфагора ..., але ми можемо впевнено вважати, що вона належить найдавнішого періоду піфагорейської математики».
7. ↑ Георг Гегель. Лекції з історії філософії . - Litres, 2016-09-08. - С. 282. - 1762 с. - ISBN 9785457981690 .
8. ↑ Asger Aaboe. Episodes from the early history of mathematics . - Mathematical Association of America , 1997. - P. 51. - «... it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs.». - ISBN 0883856131 .
9. ↑ Elisha Scott Loomis. Pythagorean Proposition
10. ↑ Euclid's Elements: book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle ».
11. ↑ Lawrence S. Leff. Cited work . - Barron's Educational Series, 2005-05-01. - P. 326. - ISBN 0764128922 .
12. ↑ Howard Whitley Eves. § 4.8: ... generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108 .
13. ↑ Aydin Sayili (Mar. 1960). "Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem". Isis. 51 (1): 35-37. DOI : 10.1086 / 348837 . JSTOR 227603 .
14. ↑ Judith D. Sally, Paul Sally. Exercise 2.10 (II) // Cited work . - 2007-12-21. - P. 62. - ISBN 0821844032 .
15. ↑ George Jennings. Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures . - 3rd. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X .
16. ↑ Rajendra Bhatia. Matrix analysis . - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465 .
17. ↑ Шилов Г. Є. Математичний аналіз. Спеціальний курс. - М .: Физматлит, 1961. - C. 194
18. ↑ Stephen W. Hawking. Cited work . - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229 .
19. ↑ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics . - 2nd. - 2003. - P. 2147. - «The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate , Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.». - ISBN 1584883472 .
20. ↑ Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment . - Cambridge University Press, 2006. - P. 11. - «We could include ... the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. ». - ISBN 052185959X .
21. ↑ Victor Pambuccian (December 2010). "Maria Teresa Calapso's Hyperbolic Pythagorean Theorem". The Mathematical Intelligencer. 32 (4): 2. DOI : 10.1007 / s00283-010-9169-0 .
22. ↑ Barrett O'Neill. Exercise 4 // Elementary differential geometry . - 2nd. - Academic Press, 2006. - P. 441. - ISBN 0120887355 .
23. ↑ Saul Stahl. Theorem 8.3 // The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry . - Jones & Bartlett Learning, 1993. - P. 122. - ISBN 086720298X .
24. ↑ Мікіша А. М., Орлов В. Б. Тлумачний математичний словник. Основні Терміни. - М. Російська мова, 1989 г.
25. ↑ Jane Gilman. Hyperbolic triangles // Two-generator discrete subgroups of PSL (2, R) . - American Mathematical Society Bookstore, 1995. - ISBN 0821803611 .
26. ↑ Alfred Gray , Elsa Abbena, Simon Salamon. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica . - 3rd. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487 .

• Ван-дер-Варден Б. Л. прокидається наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції. - М., 1959
• Глейзер Г. І. Історія математики в школі. - М., 1982
• Еленьскій Щ. Слідами Піфагора. - М., 1961
• Клауді Альсина. Секта чисел. Теорема Піфагора. - М.: Де Агостіні, 2014. - 152 с. - (Мир математики: в 45 томах, том 5). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .
• Літцмана В. Теорема Піфагора. - М., 1960.
  • Сайт про теорему Піфагора з великим числом доказів, матеріал взято з книги В. Літцмана, велике число креслень представлено у вигляді окремих графічних файлів.
• Скопець З. А. Геометричні мініатюри. - М., 1990.
• Euclid. The Elements (3 vols.) / Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath. - Reprint of 1908. - Dover, 1956. - Vol. 1 (Books I and II). - ISBN 0-486-60088-2 .
• Heath S. A History of Greek Mathematics (2 Vols.). - Edition of Dover Publications, Inc. (1981). - Clarendon Press, Oxford, 1921. - ISBN 0-486-24073-8 .