Теорія очікуваної корисності і Санкт-Петербурзький парадокс

Люди в здійсненні своєї економічної діяльності неминуче йдуть на ризик. [1] Під ризиком розуміється ситуація, коли, знаючи ймовірність кожного можливого результату, все ж не можна точно передбачити кінцевий результат. Розглянемо деякі основні поняття, пов'язані з поведінкою людини в умовах невизначеності. Участь в лотереї - типовий приклад ризикової діяльності.

Очікуване значення випадкової величини (наприклад, виграш чи програш в лотереї) підраховується за формулою математичного очікування:

Е (х) = р1х1 + Р2Х2 + ... + pnxn

де р1, р2, ... pn - ймовірності кожного результату, х1, х2, ... xn - значення кожного результату.

Завантажити замітку в форматі Word або pdf

При цьому важливо враховувати, що ймовірності можуть мати різну природу, тобто бути як об'єктивними, так і суб'єктивними. Ті вчені, які дотримуються концепції об'єктивної природи ймовірностей, вважають, що значення ймовірностей потенційно визначені у договорі на математичній основі. Так, французький астроном, математик і фізик П'єр Лаплас визначав ймовірність досліджуваної події як відношення кількості сприятливих результатів даної події до кількості всіх можливих результатів (докладніше див. П'єр Симон Лаплас. Досвід філософії теорії ймовірностей ). Прихильники суб'єктивного підходу (наприклад, американський економіст і статистик Леонард Севідж ) Вважали, що ймовірності - це ступеня переконаності в настанні тих чи інших подій. У будь-якому випадку, яку б трактування природи ймовірностей ми не прийняли, нам важливо розрізняти математичне очікування (передбачуване значення результату) і очікувану корисність.

Витоки математичного обгрунтування теорії очікуваної корисності можна зустріти в роботах швейцарських математиків Габріеля Крамера і Данила Бернуллі , Останній з яких запропонував своє рішення знаменитого Санкт-Петербурзького парадоксу (Див. також Данило Бернуллі. Досвід нової теорії вимірювання жереба ).

Формулювання парадоксу. Розглядається наступне завдання. Вступаючи в гру, гравець платить деяку суму, а потім підкидає монету (ймовірність кожного результату - 50%), поки не випаде орел. При випаданні орла гра закінчується, а гравець отримує виграш, розрахований за такими правилами. Якщо орел випав при першому кидку, гравець отримує 20, при другому кидку - 21 і так далі: при n -му кидку - 2n-1. Іншими словами, виграш зростає від кидка до кидка вдвічі, пробігаючи за ступенями двійки - 1, 2, 4, 8, 16, 32 і так далі.

Математичне сподівання грошового виграшу при першому кидку становить р1 * х1 = 0,5 * 20 = 0,5 * 1 = 0,5 долара. При другому кидку воно складе р2 * х2 = (0,5 * 0,5) * 21 = 0,25 * 2 = 0,5 дол. Загальна очікуване значення є сумою очікувань на кожній стадії гри і = 0,5 дол. + 0,5 дол. + 0.5 дол. + ... Сума цього нескінченного ряду представляє нескінченно велику величину.

Потрібно визначити, який розмір вступного внеску робить таку гру справедливою, тобто знайти математичне очікування виграшу гравця. Парадокс полягає в тому, що обчислене значення цього справедливого внеску дорівнює нескінченності, тобто вище будь-якого можливого виграшу. Іншими словами суть парадоксу: індивіди готові заплатити відносно невелику суму грошей за участь в грі, в якій математичне очікування виграшу нескінченно велике.

Отже, очікуваний грошовий виграш в грі нескінченний, проте більшість людей ухилиться від участі в ній. Чому ж так відбувається? Щоб пояснити Санкт-Петербурзький парадокс, Д. Бернуллі припустив, що в даному випадку індивіди прагнуть до максимізації не очікується грошового виграшу, а морального очікування, згодом названого очікуваної корисністю виграшу. А це не одне і те ж. Розглянемо цю проблему докладніше в зв'язку зі ставленням людей до ризику.

Ідеї ​​Д. Бернуллі отримали розвиток в роботах американських економістів Джона фон Неймана і Оскара Моргенштерна , Яких часто називають основоположниками теорії очікуваної корисності. Вони показали, що в умовах неповної інформації раціональним вибором індивіда буде вибір з максимальною очікуваною корисністю. Очікувана корисність кожного варіанта підраховується наступним чином:

U - очікувана корисність (від англ. Utility), де р i - ймовірність результату, xi - корисність результату. Потім індивід порівнює очікувані корисності варіантів і здійснює вибір, прагнучи максимізувати очікувану корисність. Яке ж буде його ставлення до ризику?

Людям властиво різне ставлення до ризику. В економічній теорії прийнято виділяти:

• нейтральних до ризику;
• любителів ризику;
• зазнають антипатію до ризику, або супротивників ризику.

У деяких випадках математичне очікування при здійсненні ризикової діяльності може дорівнювати в грошовому вираженні неризикових варіанту, і все ж люди поведуться по-різному. Наприклад, ваш боржник замість того, щоб повернути вам 10 дол., Пропонує кинути монету. Якщо ви виграєте, то отримаєте не 10, а 20 дол. (Т. Е. Ваш чистий виграш складе 10 дол.), Але якщо програєте - не отримаєте нічого (т. Е. Втратите свої 10 дол.). Математичне сподівання Е (х) в цьому випадку складе: (0,5 * 10) + (0,5 * (-10+) = 0. Воно дорівнює нулю, і виходить, що вам, начебто, байдуже, грати в орлянку з боржником або зажадати просто свої гроші назад.

Але хтось побажає піти на ризик в надії отримати більше, а хтось вважатиме за краще не вживати ніяких дій, пов'язаних з ризиком. Для того, щоб пояснити вибір економічних агентів, необхідно включити в наш аналіз концепцію очікуваної корисності.

Практика показує, що в основній своїй масі люди не схильні до ризикової діяльності. Така поведінка зазвичай пояснюється, крім особливостей людської психіки, чисто економічної причиною, а саме: дією закону спадної граничної корисності.

Припустимо, що у вас є 100 дол. Ви можете зіграти в рулетку і поставити «на червоне» 50 дол. У разі виграшу у вас буде 150 дол .: 50 дол., Які ви не ставили, плюс 50 дол. * 2 - ваш виграш. Таким чином, ви збільшите своє початкове багатство, рівне 100 дол., На 50 дол. У разі програшу у вас залишиться всього 50 дол., Т. Е. Ви зменшите своє початкове багатство на 50 дол. Математичне сподівання виграшу в грошовому вираженні складе: (0,5 * 50) + (0,5 * (-50)) = 0.

Але гранична корисність, як видно з графіка загальної корисності, убуває, тому в умовних одиницях корисності очікувана корисність матиме від'ємне значення: (0,5 * (-2)) + (0,5 * 1) = -1.

Мал. 1. Крива загальної корисності для індивіда, що зазнає антипатію до ризику

Інакше кажучи, в разі програшу ваші збитки будуть в умовних одиницях корисності більше, ніж ваше придбання в разі виграшу. Таким чином, в категоріях корисності ситуація виглядає інакше, ніж в грошовому обчисленні, і ви не будете схильні ризикувати. Ось чому ми говорили раніше про необхідність розрізняти математичне очікування грошової суми виграшу і її очікувану корисність. Висловлюючись більш звичною мовою, можна сказати, що, звичайно, вам принесе радість отримати більше того, що ви маєте, але для вас набагато відчутніше буде втрата того, до чого ви вже звикли. В економічній теорії цей феномен отримав назву ефекту володіння. Ефект володіння полягає в тому, що люди набагато вище оцінюють те, чим вони володіють чимось, що поки їм не належить.

Повертаючись до Санкт-Петербурзькому парадоксу, ми можемо тепер сказати, що індивіди, відмовляючись від гри в підкидання монети, незважаючи на нескінченно велике значення математичного очікування, керуються, відповідно до гіпотези Бернуллі, перш за все очікуваної корисністю виграшу. А гранична корисність доходу з кожним його приростом знижується. При зменшується граничної корисності грошового виграшу люди вимагатимуть все зростаючих виплат, для того, щоб компенсувати свій ризик в разі програшу.

[1] Цитується за підручником для вузів Курс економічної теорії під загальною редакцією проф. Чепуріна М.Н., проф. Кисельової Е. А., Кіров. - «АСА», 2006. - стор. 191-195