Межа послідовності і функції, обчислення меж

Головна >> лекції >> Математичний аналіз >> Межа послідовності і функції

Визначення меж послідовності і функції, властивості меж, перший і другий чудові межі, приклади.

Постійне число а називається межею послідовності {xn}, якщо для будь-якого як завгодно малого позитивного числа ε> 0 існує номер N, що всі значення xn, у яких n> N, задовольняють нерівності

| Xn - a |

Записують це наступним чином: або xn → a.

Нерівність (6.1) рівносильно подвійному нерівності

a - ε <xn <a + ε яке означає, що точки xn, починаючи з деякого номера n> N, лежать всередині інтервалу (a-ε, a + ε), тобто потрапляють в яку завгодно малу ε-околиця точки а.

Послідовність, що має межу, називається збіжної, в іншому випадку - розходиться.

Поняття межа функції є узагальненням поняття межа послідовності, так як межа послідовності можна розглядати як межа функції xn = f (n) целочисленного аргументу n.

Нехай дана функція f (x) і нехай a - гранична точка області визначення цієї функції D (f), тобто така точка, будь-яка околиця якої містить точки безлічі D (f), відмінні від a. Точка a може належати безлічі D (f), а може і не належати йому.

Визначення 1. Постійне число А називається межа функції f (x) при x → a, якщо для будь-якої послідовності {xn} значень аргументу, що прагне до а, відповідні їм послідовності {f (xn)} мають один і той же межа А.

Це визначення називають визначенням границі функції по Гейне, або "на мові послідовностей".

Визначення 2. Постійне число А називається межа функції f (x) при x → a, якщо, задавши довільне, як завгодно мале позитивне число ε, можна знайти таке δ> 0 (залежне від ε), що для всіх x, що лежать в ε-околиці числа а, тобто для x, що задовольняють нерівності
0 <xa <ε, значення функції f (x) будуть лежати в ε-околиці числа А, тобто | F (x) -A | <ε

Це визначення називають визначенням межа функції по Коші, або "на мові ε - δ"

Визначення 1 і 2 рівносильні. Якщо функція f (x) при x → a має межу, що дорівнює А, це записується у вигляді

. (6.3)

У тому випадку, якщо послідовність {f (xn)} необмежено зростає (або убуває) при будь-якому способі наближення x до своєї межі а, то будемо говорити, що функція f (x) має нескінченну границю, і записувати це у вигляді:

Змінна величина (тобто послідовність або функція), межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою величиною.

Змінна величина, межа якої дорівнює нескінченності, називається нескінченно великою величиною.

Щоб знайти межу на практиці користуються наступними теоремами.

Теорема 1. Якщо існує кожен межа

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Зауваження. Вирази виду 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞ 0 * ∞ є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знайти межу такого виду носить назву "розкриття невизначеностей".

Теорема 2.

(6.7)

тобто можна переходити до межі в підставі ступеня при постійному показнику, зокрема,

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

де e »2.7 - основа натурального логарифма. Формули (6.10) і (6.11) звуться перший чудового межах і другий чудовий межа.

Використовуються на практиці і слідства формули (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

зокрема межа,

Eсли x → a і при цьому x> a, то пишуть x → a + 0. Якщо, зокрема, a = 0, то замість символу 0 + 0 пишуть +0. Аналогічно якщо x → a і при цьому x <a, то пишуть x → -0. числа і називаються відповідно межа праворуч і межа зліва функції f (x) в точці а. Щоб існував межа функції f (x) при x → a необхідно і достатньо, щоб . Функція f (x) називається неперервною в точці x0, якщо межа

(6.15)

Умова (6.15) можна переписати у вигляді:

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона неперервна в цій точці.

Якщо рівність (6.15) порушено, то кажуть, що при x = xo функція f (x) має розрив. Розглянемо функцію y = 1 / x. Областю визначення цієї функції є безліч R, крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D (f), оскільки в будь-який її околиці, тобто в будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D (f), але вона сама не належить цій безлічі. Значення f (xo) = f (0) не визначене, тому в точці xo = 0 функція має розрив.

Функція f (x) називається неперервною справа в точці xo, якщо межа

і безперервної зліва в точці xo, якщо межа

Неперервність функції в точці xo рівносильна її безперервності в цій точці одночасно і праворуч і ліворуч.

Для того, щоб функція була неперервна в точці xo, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існував кінцевий межа , А по-друге, щоб ця межа була дорівнює f (xo). Отже, якщо хоча б одне з цих двох умов не виконується, то функція буде мати розрив.

1. Якщо межа існує і не дорівнює f (xo), то говорять, що функція f (x) в точці xo має розрив першого роду, або стрибок.

2. Якщо межа дорівнює + ∞ або -∞ або не існує, то говорять, що в точці xo функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y = ctg x при x → +0 має межу, що дорівнює + ∞, значить, в точці x = 0 вона має розрив другого роду. Функція y = E (x) (ціла частина від x) в точках з цілими абсциссами має розриви першого роду, або скачки.

Функція, безперервна в кожній точці проміжку [a, b], називається безперервної в [a, b]. Безперервна функція зображується суцільною кривою.

До другого чудовому межі призводять багато завдань, пов'язані з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, відносяться: зростання вкладу згідно із законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій і т.п.

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, що дає інтерпретацію числа e в завданню про складні відсотках. Число e є межа . У сбербанках процентні гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, так як в освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо чисто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай в банк належить 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо процентні гроші будуть приєднані до основного капіталу лише після закінчення року, то до цього терміну 100 ден. од. перетворяться в 200 грош Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо процентні гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після закінчення півріччя 100 ден. од. виростуть в 100 × 1,5 = 150, а ще через півроку - в 150 × 1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то після закінчення року 100 ден. од. перетворяться в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. од.). Будемо учащати терміни приєднання процентних грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді з 100 ден. од. через рік вийде:

100 × (1 +1/10) 10≈ 259 (ден. Од.),

100 × (1 + 1/100) 100≈ 270 (ден. Од.),

100 × (1 + 1/1000) 1000 ≈271 (ден. Од.).

При безмежному скорочення термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до деякого межі, рівному приблизно 271. Більш ніж в 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якщо б наросли відсотки приєднувалися до капіталу кожну секунду, тому що межа

Приклад 3.1. Користуючись визначенням меж числової послідовності, довести, що послідовність xn = (n-1) / n має межу, що дорівнює 1.

Рішення. Нам треба довести, що, яке б ε> 0 ми не взяли, для нього знайдеться натуральне число N, таке, що для всіх n> N має місце нерівність | xn -1 | <ε

Візьмемо будь-ε> 0. Так як xn-1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, то для відшукання N досить розв'язати нерівність 1 / n <ε. Звідси n> 1 / ε і, отже, за N можна взяти цілу частину від 1 / ε N = E (1 / ε). Ми тим самим довели, що межа .

Приклад 3.2. Знайти межа послідовності, заданої загальним членом .

Рішення. Застосуємо теорему межа суми і знайдемо межа кожного доданка. При n → ∞ чисельник і знаменник кожного доданка прямує до нескінченності, і ми не можемо безпосередньо застосувати теорему межа приватного. Тому спочатку перетворимо xn, розділивши чисельник і знаменник першого доданка на n2, а другого на n. Потім, застосовуючи теорему межа приватного і межа суми, знайдемо:

Приклад 3.3. . знайти .

Рішення.

Тут ми скористалися теоремою про межі ступеня: межа ступеня дорівнює ступеню від межі підстави.

Приклад 3.4. знайти ( ).

Рішення. Застосовувати теорему межа різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ∞-∞. Перетворимо формулу загального члена:

Приклад 3.5. Дана функція f (x) = 21 / x. Довести, що межа не існує.

Рішення. Скористаємося визначенням 1 границі функції через послідовність. Візьмемо послідовність {xn}, що сходиться до 0, тобто Покажемо, що величина f (xn) = для різних послідовностей веде себе по-різному. Нехай xn = 1 / n. Очевидно, що , Тоді межа Виберемо тепер в якості xn послідовність із загальним членом xn = -1 / n, також прагне до нуля. Тому межа не існує.

Приклад 3.6. Довести, що межа не існує.

Рішення. Нехай x1, x2, ..., xn, ... - послідовність, для якої
. Як поводиться послідовність {f (xn)} = {sin xn} при різних xn → ∞

Якщо xn = pn, то sin xn = sin (pn) = 0 при всіх n і межа Якщо ж
xn = 2 p n + p / 2, то sin xn = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 для всіх n і отже межа . Таким чином, не існує.

Приклад 3.7 Знайти межа

Рішення. маємо: . Позначимо t = 5x. При x → 0 маємо: t → 0. Застосовуючи формулу (3.10), отримаємо .

Приклад 3.8. обчислити межа .

Рішення. Позначимо y = π-x. Тоді при x → π, y → 0. маємо:

sin 3x = sin 3 (π-y) = sin (3π-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4 (π-y) = sin (π4-4y) = - sin 4y.

межа

Приклад 3.9. знайти межа .

Рішення. Позначимо arcsin x = t. Тоді x = sin t і при x → 0, t → 0. .

Приклад 3.10. Знайти 1) ;

2) ;

3) .

Рішення.

1) Застосовуючи теорему 1 межа різниці і межа твори, знаходимо межа знаменника: .

Межа знаменника не дорівнює нулю, тому, за теоремою 1 межа приватного, отримуємо:

.

2) Тут чисельник і знаменник прямують до нуля, тобто має місце невизначеність виду 0/0. Теорема про межі приватного безпосередньо непридатна. Для "розкриття невизначеності" перетворимо цю функцію. Розділивши чисельник і знаменник на x-2, отримаємо при x ≠ 2 рівність:

Так як межа , То, по теоремі межа приватного, знайдемо

3. Чисельник і знаменник при x & rarr ∞ є нескінченно великими функціями. Тому теорема межа приватного безпосередньо не може бути застосована. Розділимо чисельник і знаменник на x2 і до отриманої функції застосуємо теорему межа приватного:

.

Приклад 3.11. знайти межа .

Рішення. Тут чисельник і знаменник прямують до нуля: , X-9 → 0, тобто маємо невизначеність виду .

Перетворимо цю функцію, помноживши чисельник і знаменник на неповний квадрат суми вираження , отримаємо

.

знайти межа .

Рішення.